1.4. Зрівноваження нівелірних ходів та мереж

1.4.1. Зрівноваження висот окремого нівелірного ходу

Розглянемо спочатку зрівноваження окремого нівелірного ходу, прокла­деного між двома реперами старших класів. У першій частині курсу подано спосіб зрівноваження перевищень такого ходу. Розглянемо можливість безпосереднього зрівноваження висот. Нехай маємо виміряні та обчислені середні перевищення із прямих та зворотних ходів між усіма сусідніми репе­рами ходу, а відомі тільки висоти кінцевих реперів. Необхідно визначити висоти усіх новозакладених реперів. Припустимо, ми, користуючись висотою початкового репера Н_п та середніми перевищеннями, обчислимо приблизні

висоти всіх проміжних реперів, зокрема й кінцевого репера, висота якого Н_к -відома. Отримаємо нову висоту цього репера Н'_к . А потім навпаки, користу­ючись висотою Н_к , обчислимо ще раз наближені висоти всіх інших реперів, зокрема й початкового репера. Одержимо нову висоту цього репера Н'_п. За результатами цих даних побудуємо подвійний профіль, поданий на рис. 1.4.1.

Різниця Н'_к -Н_к =+ff, являє собою нев'язку ходу Rp_n -Rp_K. Одно­часно Н'_п -Н_п =-f_h - теж нев'язка, але ходу Rp_K -Rp_n. Як це видно з подвійного профілю, для всіх реперів отримано дві висоти. Різниця висот цих реперів дає нев'язку. Для репера Е

(1.4.1)

85

Розділ І

Рівнева поверхня Рис. 1.4.1. Подвійний профіль нівелірного ходу Знайдемо найімовірнішу, тобто середньовагову висоту цього репера Н_Е :

(1.4.2)

Нехай кількість штативів у ході до репера Е дорівнює к . Якщо всього у ході п штативів, тоді кількість штативів від репера Е до кінцевого репера дорівнює п-к. За ваги цих двох частин ходу приймемо величини, обернені до кількості штативів у цих частинах ходу, тобто

1 „ 1

к п-к

Крім того, на основі рис. 1.4.1, можемо записати:

(1.4.3)

Підставивши значення Н_Е із (1.4.3) у (1.4.2), отримаємо:

н_Бі Рх +н_Ех р₂-л-р₂ _н_Еі(р₁+р₂)-л-р₂

Р₁₊Р₂ Поділивши почленно чисельник на суму (Р_{ + Р₂), одержимо:

(1.4.4)

Перетворимо дріб

р_ї+р₂

п-к

Р_]+Р₂ 1 1 п-к + к

1

п-к _ж п-к ^к(п-к)_к п п(п-к) п

к п-к к(п-к) к(п-к)

Висотні геодезичні мережі

Р₇ к

Підставивши значення — = — у (1.4.4), матимемо кінцеву формулу:

Р_х + Р₂ п

(1.4.5)

Оскільки репер Е вибрано довільно, то ця формула придатна для обчис­лення найімовірнішої висоти будь-якого репера. На підставі формули можна сформулювати правило таких обчислень: зрівноважена висота будь-якого репера дорівнює наближеній висоті, отриманій за середніми перевищеннями плюс поправка, яка дорівнює нев 'язці ходу, взятій з оберненим знаком, поділеній на кількість станцій у всьому ході і помноженій на кількість станцій до цього репера.

Під час обчислення поправок у наближені висоти доцільно нев'язку, взяту

f з оберненим знаком, розділити на п, тобто отримати постійний коефіцієнт —, а

п

потім цей коефіцієнт множити на змінну k - кількість станцій до репера, висоту якого визначають.

Визначимо найслабше місце ходу, тобто місце, де висоти реперів визна­чаються з найбільшою похибкою. Висота кожного з реперів обчислювалась два рази: від початкового та від кінцевого репера і наприклад, для репера Е , висоти

^не_х ^{та Н}Е₂ ■

Середнє значення висоти Н_сер, отримане з вагою Р, що дорівнює сумі ваг

Р_х та Р₂, тобто: Р = Р_х + Р₂, або:

(1.4.6)

Найбільшу похибку у висоті буде мати репер, вага якого Р - найменша. Відповідно до (1.4.6) Р буде мінімальним, якщо знаменник к(п - к) буде мак­симальним. Отже, маємо задачу на екстремум функції. Позначимо знаменник:

(1.4.7)

Візьмемо першу похідну по к та прирівняємо її до нуля:

— = п-2к-0. Звідси: dk

(1.4.8)

Отже, найслабше місце ходу - його середина.

87

Розділ І