1.3.3. Похибки нівелювання. Їхнє зменшення та усунення

Усі похибки можна розділити на три групи:

1. Приладні або інструментальні похибки.

2. Похибки, викликані зовнішнім середовищем.

3. Особисті похибки спостерігача. Розглянемо окремо кожну групу цих похибок. 1. Приладні або інструментальні похибки.

1.1 .Неточне виконання головної умови для нівелірів (непаралельність візирної осі та осі циліндричного рівня).

! - о₂, тоді:

Тому

Як видно з рис. 1.3.1, навіть за умови, що за час роботи на станції кут і не змінюється, для нерівних плечей (5j ^S₂), похибки у відліках рейки будуть різні х_хФх₂, а перевищення - помилкове на Ах. Нехай: Ах = х_{ -х₂; AS = S, -S,

(1.3.1)

71

Розділ І

Рис. 1.3.1. Вплив невиконання головної умови нівеліра на результати нівелювання

Інструкція допускає Для цих значень на основі (1.3.1)

маємо:

Це в 15 разів менше за допустиме розходження між перевищеннями на станції (±3 мм). Отже, завдяки обмеженню інструкцією нерівності плечей та кута і", неточне виконання головної умови нівелірами не може внести в перевищення на станції похибки, більшої за 0,2 мм. Ця похибка є випадковою.

Нагадаємо, що нерівність плечей викликає необхідність перефокусування зорової труби та урахування кривини Землі. Вплив цих факторів на точність нівелювання розглядався раніше.

1.2. Похибки поділок рейки.

Як відомо, максимальні похибки дециметрових поділок рейок, які допускає інструкція, не повинні перевищувати 0,5 мм і 1,0 мм відповідно для рейок, які використовують для нівелювання III та IV класів. Що стосується різниці висот нулів рейок, то цей недолік рейок компенсується парною кількістю штативів у секції нівелірного ходу.

1.3. Похибки встановлення рейки у вертикальне (прямовисне) положення. На рис. 1.3.2 показано, як непрямовисність рейки впливає на відлік.

72

Висотні геодезичні мережі

Якщо рейка прямовисна, відлік Ь₀ буде мінімальним. Для нахилу рейки у бік нівеліра на кут є або в протилежний бік на такий самий кут є, відліки збільшаться і дорівнюватимуть Ь . Похибка відліку Ab = b-b₀. Безпосередньо з рисунка видно, що:

(1.3.2)

є є

Враховуючи, що кут є - малий і sin — = —, отримаємо:

(1.3.3)

Для є = ЗО' Ь = 3000 mm, &b = 0,1 mm. Для є = 1° Ab - 0,5 mm.

Отже, рейку необхідно утримувати у прямовисному положенні з похиб­кою, яка не більша за 1 °. З такою точністю встановити рейку вертикально, на око, не вдається. Тому для зменшення цієї похибки до рейки прикріпляють сфе­ричний рівень із ціною поділки ЗО' або висок на нитці завдовжки близько 1 м.

1.4. Похибки, викликані прогином (викривленням') рейки.

У разі неправильного зберігання рейки може виникнути викривлення, і вона матиме стрілку прогину / (рис. 1.3.3). Нехай рейка є дугою АСВ радіусом

R. Довжина хорди - 2х.

73

Розділ І

Рис. 1.3.3. До визначення впливу викривлення рейки на зміну її довжини

Різниця довжини дуги / і хорди 2х становить:

М = Т-2х. (1.3.4)

Або А/ = / - 2R sin a. Розкладемо sin а в ряд, зберігши два члени розкладу:

Оскільки з рисунка то, підставивши значення виразу в попе-

редній, одержимо:

Отже,

(1.3.5)

Виразимо R через стрілку прогину / . Із трикутника BNO запишемо: Із трикутника CBN:

Додавши два останні рівняння, виключимо х, і після незначних пере­творень отримаємо:

(1.3.6)

74

Висотні геодезичні мережі

Підставивши значення R із (1.3.6) в (1.3.5), матимемо:

(1.3.7)

Розв'язавши (1.3.7) відносно /, отримаємо формулу, на підставі якої визначимо допустиму стрілку прогину /_доп залежно від допустимої зміни дов­жини рейки А/:

(1.3.8)

Нехай А1_доп =0,1 мм. Для довжини рейки / = 3000 мм, одержимо: /а™ =10,6 мм.

1.5. Похибка встановлення візирної осі в горизонтальний стан.

Встановлюють середину бульбашки циліндричного рівня в нуль-пункт із граничною помилкою т", що визначається за формулою

(1.3.9)

Ця формула підтверджена багаторічним досвідом.

Для х* = ЗО"; т" = 4,5". Похибка - випадкова, але одна з найбільших, і не

може бути зменшена (якщо не мати на увазі скорочення плечей). Тільки застосування контактного рівня дещо зменшує цю похибку. До вивчення впливу цієї похибки на результати нівелювання ми ще повернемося.

2. Похибки, викликані зовнішнім середовищем.

2.1. Похибки, викликані вертикальною рефракцією.

Скористаємося відомою формулою поправки за вертикальну рефракцію у відлік під час нестійкої стратифікації повітря [27]:

Перший член у правій частині - нормальна частина рефракції. Другий член - аномальна рефракція. Зауважимо, що лінійна рефракція під час гео-

метричного нівелювання пропорційна до S . Дріб можна вважати сталою

величиною, яка для стандартної атмосфери (тиск Р = 986 ГПа (740 мм рт. ст.), абсолютна температура Т = 288 °К (/= 15 °С) буде дорівнювати:

75

Розділ І

Перехід до сталого коефіцієнта не викличе істотних похибок під час визначення нівелірної рефракції, однак формули значно спростяться:

(1.3.10)

Якщо поправка за рефракцію у відлік задньої рейки г₃, а передньої г_п, то поправка в перевищення на станції становитиме:

(1.3.11)

Як бачимо, на перевищення впливає диференційна частина рефракції. Для рівних плечей S вплив нормальної рефракції на перевищення дорівнюватиме нулеві. На рівнинній місцевості з однорідною підстилаючою поверхнею для рівних плечей промінь на задню і передню рейки буде проходити на однаковій висоті; тоді середні вертикальні градієнти температури на шляху променя на задню і передню рейки будуть однаковими: у_{анесер3} = Ч_ан.е.се_Р.п ■ ^За таких умов

вплив аномальної рефракції на перевищення буде компенсуватися. Проте, якщо на станції нівелювання перевищення 0,2-0,3 м і більше (див. рис. 1.3.4), то Уан.е.серЗ *Уан.есер.п і поправка в перевищення за аномальну рефракцію може бути обчислена за формулою

(1.3.12)

Треба пам'ятати, що нормальна рефракція завжди додатна, а аномальна для нестійкої стратифікації - завжди від'ємна, тобто зменшує абсолютне значення перевищення, незалежно від знака перевищення. Тому для нестійкої стратифікації атмосфери поправка за аномальну рефракцію - додатна, а поп­равка за нормальну рефракцію - від'ємна.

Максимальні градієнти на висоті 1 м над підстилаючою поверхнею (асфальтом) досягають 2 град/м. Максимальна різниця градієнтів для різниці середніх висот променя на задню і передню рейки 1,2 м може досягти &Чанесер ⁼ 127 град/м. Тоді для плечей завдовжки 75 м гранична похибка

Аг = 3,35 мм. Проте така різниця градієнтів можлива тільки над асфальтом о 12-14 годині дня, у разі сильних коливань зображень поділок рейки. У таких умовах нівелювання не виконують. У разі незначних коливань ця різниця становитиме 0,2-0,4 град/м, тоді Аг = 0,53-1,05 мм. Але й такий вплив буде максимальним і може виникати тільки на станціях, де перевищення 2,4-2,5 м, тобто практично максимальні, для триметрових рейок. Справді, якщо мінімальний відлік рейки 0,3 м, тоді для перевищення в 2,5 м відлік іншої рейки становитиме 2,8 м.

76

Висотні геодезичні мережі

Рис. 1.3.4. Вплив аномальної рефракції' на перевищення

Крім того, для довжин плечей у 75 м можливий ухил траси і становить близько 17 проміле. Уже для ухилу 2,5 проміле необхідно виконувати нівелювання плечами завдовжки 50 м. Тоді диференційна атмосферна рефракція Аг = 0,23-0,47 мм. Враховуючи, що ця похибка систематична, на хід завдовжки 1 км (10 таких станцій) накопичення похибок тільки від цього джерела становитиме майже половину допустимої нев'язки ~ 5 мм (f_{h доп Шкл} =

= 10 мм/км). У наш час на основі турбулентності атмосфери доведено [15], що для нестійкої стратифікації градієнти температури флуктують (коливаються) від Уан min ~ 0 до у_{ан тах} , що викликає максимальний розмах коливань візирної цілі (поділки рейки) г_тах . Такі максимальні коливання мають частоту не менше за 1 Гц (не менше від одного максимального коливання на секунду).

Виконуючи нівелювання під час коливань зображень, спостерігач зауважує, що відлік увесь час змінюється, оскільки середня нитка сітки ниток, спроектована на рейку, коливається. Спостерігач бере відлік середнього стану нитки. Цьому стану відповідає градієнт

(1.3.13)

У _ іан. min ⁺ і ан. max

Іан.сер ~ у

Враховуючи, що у_а

0, отримаємо:

Іан.сер

(1.3.14)

77

Розділ І

Цьому стану відповідає рефракція

Тобто відлік середнього стану нитки спотворений середньою рефракцією.

Достатньо брати відлік максимального верхнього розташування середньої нитки, який нитка займає за проміжок часу в 1 секунду не менше ніж один раз. Тоді відлік буде вільний від аномальної рефракції. Верхній стан нитки треба відраховувати, якщо труба нівеліра дає пряме зображення. Якщо ж труба нівеліра дає обернене зображення, то треба відраховувати максимально нижнє розташування середньої нитки за такий самий проміжок часу. Оскільки максимальні амплітуди коливань доволі часті (кожну секунду), то спостерігач витрачає стільки само часу на відліки екстремальних станів нитки, як і на відлік її середнього положення.

Використовуючи такий спосіб, можна не тільки позбутися аномальної рефракції, підвищити точність нівелювання, але й розширити час, придатний для нівелювання. Не можна виконувати нівелювання під час стійкої стратифікації атмосфери (під час інверсії), коли температура повітря в приземних прошарках зростає з висотою. Вертикальні градієнти температури під час інверсії - додатні і на висоті 1 м можуть бути значно більшими за 2 град/м. Інверсія діє вночі, зранку - приблизно одну годину після сходу Сонця і ввечері, починаючи, приблизно, за годину до заходу Сонця. Інструкція нівелювання забороняє виконувати нівелювання у ці години зранку та ввечері. Під час інверсії нормальна й аномальна рефракція - додатні, їхній сумарний вплив - значний і важко піддається урахуванню. До того ж під час інверсії і за тихої (безвітряної) погоди, коливання зображень рейки відсутні, так само, як і під час нормальної стратифікації повітря, коли нормальні градієнти темпе­ратури у_нор = 0,0098 град/м, а у_ан = 0.

2.2. Похибки, викликані коливанням зображень поділок рейки.

Неважко зрозуміти, що спостерігач бере відліки рейки під час спокійних зображень її поділок точніше ніж під час коливання цих поділок. Проте ці похибки випадкові і не є такими загрозливими, як систематичні похибки рефракції.

Численні експериментальні дослідження показали, що, наприклад, похиб­ки відліків інварної рейки мікрометром нівеліра Н-1, труба якого має збільшення Г = 45^х, для довжини плеча 75 м виконують із середньою квадратичною похибкою: під час спокійних зображень - 0,092 мм, а під час максимальних розмахів коливань r_max = 2,84 мм (майже 3 мм) - 0,155 мм. Отже,

78

Висотні геодезичні мережі

під час значних розмахів коливань зображень похибка відліку зростає у 1,7 раза. Похибка, викликана коливаннями зображень поділок рейки, становитиме на 1 км ходу (10 станцій) ~ 0,5 мм. Одночасно, похибка за рефракцію на порядок більша - 5 мм. Саме тому необхідно враховувати рефракцію, якщо виконується нівелювання під час коливання зображень рейки.

Враховуючи рефракцію будь-яким способом, ми, тим самим, перетво­рюємо її вплив із систематичного на випадковий. Якщо навіть допустити, що випадкові похибки урахування рефракції становлять 0,25 мм (удвічі менші за систематичні похибки рефракції) тоді її вплив буде на 1 км -

0,25-^ = 0,8 мм. Отже, вплив рефракції зменшився приблизно в 6 разів і пе­рестав бути загрозливим. Тому можна виконувати нівелювання під час коливань зображень, тільки якщо будь-яким методом буде врахована верти­кальна рефракція.

2.3. Похибки, викликані кривиною Землі.

Вплив кривини Землі на відлік рейки можна визначити за відомою нам формулою

(1.3.16)

Якщо нівелювання виконувати з рівними довжинами плечей, то вплив кривини Землі на перевищення виключається. Проте нівелювання виконують не строго із середини. Наприклад, під час нівелювання IV кл допускають нерівність довжин плечей на станції -5 м, тобто AS = 5 м.

Розрахуємо похибку перевищення, що виникає для такої нерівності довжин плечей:

Отже, вплив кривини Землі на відлік рейки у разі нерівних довжин плечей до 5 метрів є дуже малим, і його можна не враховувати.

Проте не тільки кривина Землі обмежує нерівність довжин плечей, а також зміни із часом кута і та необхідність перефокусування труби.

2.4. Похибки, викликані осіданням башмаків.

Експериментально доведено, що кожне встановлення рейки на башмак або костиль втискає їх у землю. Досвід показує, що це джерело похибок має переважно систематичний характер, щоправда, на окремій станції похибки не перевищують 0,02-0,03 мм. Вплив осідання башмаків на середнє перевищення, отримане із прямого та зворотного ходу, значно ослаблене. Значна компенсація впливу осідання башмаків, як і інших чинників, наприклад, зміни кута і за час

79

Розділ І

роботи на станції, забезпечується завдяки виконанню відліків рейок в один фізичний момент.

Розглянемо це детальніше.

Нехай відлік чорної сторони задньої рейки середньою ниткою зроблено о 8 год 40 хв. (рис. 1.3.5). Відлік чорної сторони цією самою ниткою передньої рейки - о 8 год 42 хв. Відлік червоної сторони передньої рейки - о 8 год 43 хв. Відлік червоної сторони задньої рейки - о 8 год 45 хв. Отже, у середньому відліки задньої і передньої рейок зроблені в один фізичний момент - 8 год 42,5 хв. Тобто передбачена інструкцією послідовність відліків обгрунтована. Недопустимо спочатку брати відліки чорної і червоної сторін задньої рейки, а потім -передньої. Тоді такої одночасності відліків не буде. Є ще одна причина недопустимості іншої послідовності відліків. Якщо спостерігач, взявши відліки двох сторін задньої рейки, забув вивести бульбашку рівня в нуль-пункт, а потім взяв відлік обох сторін передньої рейки, то обчислені перевищення за чорними та червоними сторонами рейок будуть однакові або відрізнятимуться не більше ніж на 3 мм. Проте ці перевищення із грубою похибкою. Якщо послідовність відліків така, як рекомендує інструкція, імовірність появи такої похибки дуже мала.

Рис. 1.3.5. Пояснення щодо отримання одночасності "середніх" відліків рейок

2.5. Похибки, викликані осіданням штатива.

Під час роботи на станції спостерігач переміщається навколо нівеліра і масою свого тіла тисне на ґрунт. Внаслідок цього, особливо на слабких та заболочених ґрунтах, штатив осідає. Ці похибки мають приблизно таку саму

80

Висотні геодезичні мережі

величину, що й осідання башмаків, і не регламентують точність нівелювання III та IV класів.

3. Особисті похибки.

3.1. Похибки відліків рейок.

Похибки відліку (кутова похибка візування) залежать від цілої низки чинників: критичного кута зору спостерігача; роздільної здатності труби т ;

збільшення труби Г^х ; форми і розмірів візирної цілі; віддалі до візирної цілі; освітленості та контрастності; товщини сітки ниток; коливання візирної цілі. Однак похибку візування часто порівнюють із роздільною здатністю труби:

- критичний кут зору ока людини; для Г^х = 30^х, роздільна

здатність т = 2". Насправді складовою частиною серед інших, тільки що

перелічених факторів похибки візування є роздільна здатність труби.

Під час нівелювання III, IV класів спостерігач, беручи відлік, розглядає сантиметрові поділки рейки і ділить його на міліметри. Одні спостерігачі відраховують на рейці непарні частини сантиметра: 1, 3, 5, 7, 9 міліметрів, інші - парні частини: 2, 4, 6, 8 міліметрів.

Проте ділення поділки на десять частин окомірно виконують із точністю 0,15 від цієї поділки. Від одного сантиметра 0,15 дорівнює 1,5 мм. Для довжин плечей 75 м похибка відліку в кутовій мірі становитиме:

. Як бачимо, у нашому випадку кутова похибка

візування приблизно удвічі більша від роздільної здатності труби. Це зрозуміло: з роздільною здатністю т_в = 2" ми бачимо в трубу краї сантиметрової поділки рейки (для S = 75 м, лінійна похибка т_р = 0,73 мм), а під час відлічування

рейки необхідно ще оцінити стан нитки (яка має певну товщину) у проміжку між видимими краями сантиметрової поділки. Таку оцінку кожний спостерігач, залежно від власного критичного кута зору, виконує "особисто", по-своєму. Тому цю похибку і можна назвати особистою. Отже, кутову похибку візування не можна порівнювати з роздільною здатністю труби. Похибка візування виявилась, у цьому випадку, приблизно вдвічі більшою.

Загалом у геодезичній практиці точність візування може змінюватись на порядок і більше: від десятка секунд до часток секунди і дуже залежить від форми і розмірів візирної цілі.

З усіх розглянутих похибок найбільшими, такими, що визначають точ­ність нівелювання III, IV класів, є похибки приведення візирної осі в

81

Розділ І

горизонтальний стан та відліки рейок. Такий самий порядок мають похибки нівелювання, викликані рефракцією, до того ж похибки рефракції є сис­тематичними. Проте похибки рефракції виключають, переважно, завдяки спо­стереженням під час нормальної стратифікації атмосфери. Запропонований тут спосіб виключення рефракції під час нестійкої стратифікації ще не набув широкого застосування у виробництві.