4. Общее уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Уравнение Шредингера имеет вид

                                     (217.1)

где ћ=h/(2), т—масса частицы, —оператор Лапласа  i — мнимая единица, U (х, у, z, t) — потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, (х, у, z, t) — искомая волновая функция частицы.

В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая — только времени, причем зависимость от времени выражается множителем , так что

                                 (217.4)

где Е — полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя (217.4) в (217.1), получим

откуда после деления на общий множитель  и соответствующих преобразований придем к уравнению, определяющему функцию :

                                                           (217.5)

Уравнение (217.5) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний.

5. Уравнение Шредингера. Решение для потенциальной ямы.

Условие нормировки

(3)

Используя станционарное уравнение Шредингера для случая U = 0, получим

(4)

или

,

(5)

где

a2 = 2mE/ 2.

(6)

Уравнение (5) описывает положение частицы внутри потенциальной ямы. Оно имеет решение

(x) = Ae+iax + Be-iax,

(7)

представляющее собой суперпозицию двух волн, распространяющихся в противоположных направления вдоль оси x.

6. Частица в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме.

Дискретные уровни энергии. Принцип соответствия Бора (предельный переход положений квантовой механики в классические при больших значениях энергетического квантового числа) .

По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х=0 и х=1) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные усло­вия в данном случае имеют вид

                                                         (220.2)

В пределах «ямы» (0  х  l) уравнение Шредингера (220.1) сведется к уравнению

или

                                                   (220.3)

где

                                                        (220.4)

Общее решение дифференциального уравнения (220.3):

Так как по (220.2) (0)=0, то В=0. Тогда

                                                     (220.5)

Условие (220.2) (l)=A sin kl = 0 выполняется только при kl = n, где n — целые числа, т. е. необходимо, чтобы

                                                       (220.6)

Из выражений (220.4) и (220.6) следует, что

                                               (220.7)

т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Е_n, зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия Е_n частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Е_n называются уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Е_n, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии n.

Подставив в (220.5) значение k из (220.6), найдем собственные функции:

Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки (216.3), которое для данного случая запишется в виде

В результате интегрирования получим А = , а собственные функции будут иметь вид

                                                          (220.8)

Графики собственных функций (220.8), соответствующие уровням энергии (220.7) при n = 1, 2, 3, приведены на рис. 297,а. На рис. 297,6 изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы, равная |_n(х)|² = _n(х)*_n(х) для n=1,2 и 3. Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с n=2 частица не может находиться в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.

Из выражения (220.7) вытекает, что энергетический интервал между двумя сосед­ними уровнями равен

Принцип соответствия Бора: Законы квантовой механики при больших значениях квантовых чисел переходят в законы классической механики.

Вывод из этого принципа: всякая новая теория является развитием предыдущих теорий и полностью её не отвергает, а лишь указывает границы её применимости.

l – орбитальное (побочное или азимутальное) квантовое число. Характеризует (показывает) форму электронного облака и изменяется от 0 до (n-1), то есть, зависит от главного квантового числа. l определяет значение момента количества движения электрона по орбите.

l характеризует число подуровней на заданном энергетическом уровне.

Каждому значению l соответствует орбиталь особой формы.

Орбитали с l = 0 называются s-орбиталями,

l =1 - р-орбиталями (3 типа, отличающихся магнитным квантовым числом m),

l = 2 - d-орбиталями (5 типов),

l = 3 - f-орбиталями (7 типов).

m – магнитное квантовое число. Показывает ориентацию электронного облака в атоме при взаимодействии магнитного поля электрона с внешним магнитным полем и магнитными полями соседних электронов. m определяет число орбиталей на данном подуровне l (от –l до +l).

n=1	l=0(s)	m=1
n=2	l=0(s), 1(p)	m=1,3 m=-1,0,1
n=3	l=0(s),1(p),2(d)	m=1,3,5

Три квантовых числа n, l и m определяют волновые свойства электрона (следует из решения уравнения Шредингера).

s – квантовое число, называемое спин.