Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Прямая линия, пересекающая ось Oy в точке и образующая угол с положительным направлением оси Ox:

Коэффициент k называется угловым коэффициентом прямой. В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси Oy.

Способы задания прямой: или

Уравнение прямой в отрезках

Прямая линия, пересекающая ось Ox в точке и ось Oy в точке :

В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки

Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки и

или

или в общем виде

68. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой

Две прямые, заданные уравнениями

или

Эти прямые параллельны, если A₁B₂ − A₂B₁ = 0 или k₁ = k₂, и

перпендикулярны, если A₁A₂ + B₁B₂ = 0 или

Расстояние точки A(x₁, y₁) до прямой Ax + By + C = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она определяется по формуле

69. Декартова система координат. Способы задания поверхностей. Общее уравнение поверхности в пространстве.

ДЕКА́РТОВА СИСТЕ́МА КООРДИНА́Т, прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве (обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям). Названа по имени Р. Декарта (см. ДЕКАРТ Рене). Декарт впервые ввел координатную систему, которая существенно отличалась от общепринятой в наши дни. Для задания декартовой прямоугольной системы координат выбирают взаимно перпендикулярные прямые, называемые осями. Точка пересечения осей O называется началом координат. На каждой оси задается положительное направление и выбирается единица масштаба. Координаты точки P считаются положительными или отрицательными в зависимости от того, на какую полуось попадает проекция точки P.

Метод задания поверхности каркасом линии называется каркасным.  Аналитический способ задания поверхности находит широкое применение в практике, особенно если требуется исследовать внутренние свойства поверхности. При проектировании поверхностей технических форм и их воспроизведении на станках с программным управлением используются совместно графические и аналитические способы задания поверхностей. Поверхности рассматривают как множество точек и линий. Координаты точек этого множества удовлетворяют некоторому заданному уравнению вида F(x, y, z) = 0.

 Алгебраической поверхностью n-го порядка называется поверхность, уравнение которой – алгебраическое уравнение степени n.

Графический способ задания поверхностей.

Способы аналитического задания

     1. - векторно-параметрическое уравнение.

     2. - параметрические уравнения.

     3. - явное уравнение.

     4. - неявное уравнение.

Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности. Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

 Рассмотрим точки М₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), M₃(x₃, y₃, z₃) в общей декартовой системе координат.   Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М₁, М₂, М₃ необходимо, чтобы векторы  были компланарны. ( ) = 0  Таким образом,  Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

70. Общее уравнение плоскости в пространстве. Уравнение плоскости в отрезках

Плоскостью называется поверхность, вес точки которой удовлетворяют общему уравнению:

Ax + By + Cz + D = 0,

где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.

 

            Возможны следующие частные случаи:

 

А = 0 – плоскость параллельна оси Ох

В = 0 – плоскость параллельна оси Оу

С = 0 – плоскость параллельна оси Оz

D = 0 – плоскость проходит через начало координат

А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу

А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz

В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz

А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох

В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу

С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz

А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу

А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz

В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz

Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

 Рассмотрим точки М₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), M₃(x₃, y₃, z₃) в общей декартовой системе координат.   Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М₁, М₂, М₃ необходимо, чтобы векторы  были компланарны. ( ) = 0  Таким образом,  Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

71. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Нормальное уравнение плоскости.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α₁ и α₂ параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .

Таким образом, .

Общее уравнение плоскости

ax + by + cz + d = 0;

если а = 0, плоскость параллельна прямой Ох; если b = 0, плоскость параллельна прямой Оy; если c = 0, плоскость параллельна прямой Oz; если d = 0, плоскость проходит через начало координат; если a = b = 0, плоскость параллельна плоскости xОy; если a = c = 0, плоскость параллельна плоскости xОz; если b = c = 0, плоскость параллельна плоскости yОz;

Уравнение плоскости в отрезках:

а, b, с — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях;

Уравнение прямой, проходящей через точку А(х₀; у₀; z₀) перпендикулярно вектору :

а(х – х₀) + b(у – у₀) + с (z – z₀) = 0

Угол между плоскостями а₁х + b₁y + c₁z + d₁ = 0  и  а₂х + b₂y + c₂z + d₂ = 0

Условие параллельности двух плоскостей

Условие перпендикулярности двух плоскостей

а₁а₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0

Расстояние от точка М₀ (х₀; у₀; z₀) до плоскости ax + by + cz + d = 0

72. Общие уравнения прямой в пространстве. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

П оложение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М₁ и вектора , параллельного этой прямой.

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая l проходит через точку М₁(x₁, y₁, z₁), лежащую на прямой параллельно вектору .

Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что .

Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t, что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М₁ и М соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М, лежащей на прямой.

Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что , и отсюда

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты x, y и z и точка М перемещается по прямой.

проходящей через две точки М₁ (х₁; у₁; z₁) и М₂ (х₂; у₂; z₂):

73. Условие параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

Условие параллельности двух прямых

Условие перпендикулярности двух прямых

74. Канонические уравнения прямой в пространстве.

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Пусть М₁(x₁, y₁, z₁) – точка, лежащая на прямой l, и – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и рассмотрим вектор .

Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,

– канонические уравнения прямой.

Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t. Действительно, из параметрических уравнений получаем или .

75. Общая постановка задачи оптимизации.

В процессе проектирования ставится обычно задача определения наилучших, в некотором смысле, структуры или значений параметров объектов. Такая задача называется оптимизационной. Если оптимизация связана с расчетом оптимальных значений параметров при заданной структуре объекта, то она называется параметрической оптимизацией. Задача выбора оптимальной структуры является структурной оптимизацией.

Стандартная математическая задача оптимизации формулируется таким образом. Среди элементов χ, образующих множества Χ, найти такой элемент χ^* , который доставляет минимальное значение f(χ^*) заданной функции f(χ). Для того, чтобы корректно поставить задачу оптимизации необходимо задать:

1. Допустимое множество — множество ;

2. Целевую функцию — отображение ;

3. Критерий поиска (max или min).

Тогда решить задачу означает одно из:

1. Показать, что .

2. Показать, что целевая функция не ограничена снизу.

3. Найти .

4. Если , то найти .

Если минимизируемая функция не является выпуклой, то часто ограничиваются поиском локальных минимумов и максимумов: точек x₀ таких, что всюду в некоторой их окрестности для минимума и для максимума.

Если допустимое множество , то такая задача называется задачей безусловной оптимизации, в противном случае — задачей условной оптимизации.

76. Классическая задача на условный экстремум. Необходимое и достаточные условия условного экстремума.

Функция z=f(x,y) имеет в точке Р₀ (x₀,y₀) максимум, если существует такая окрестность  точки Р₀,  что для всех точек Р (x,y) этой окрестности, отличных от точки Р₀, выполняется неравенство f(x₀,y₀)>f(x,y).

Соответственно, функция z=f(x,y) имеет в точке Р₀ (x₀,y₀) минимум, если существует такая окрестность  точки Р₀,  что для всех точек Р (x,y) этой окрестности, отличных от точки Р₀, выполняется неравенство f(x₀,y₀)<f(x,y).

Необходимый признак существования экстремума:

Для нахождения экстремумов функции z =f (x,y) сначала нужно найти стационарные точки этой функции, в которых частные производные  функции  z =f (x,y) равны нулю. Для этого нужно решить систему уравнений:

                                                         (1)

Функция может иметь экстремум также в тех точках, где хотя бы одна из частных производных не существует.

Условие (1) является необходимым условием экстремума, но оно не является достаточным, т.е. в стационарной точке экстремума может и не быть.

Рассмотрим достаточное условие экстремума. Пусть точка M₀ – стационарная точка функции z=f (x,y), которая имеет непрерывные частные производные второго порядка на некоторой окрестности точки M0,

Если >0, то экстремум в точке M0 есть, при этом M0 – точка минимума при A>0 и M0 – точка максимума при A<0. Если <0, то экстремума в точке M0 нет.

При =0 требуются дополнительные исследования функции в окрестности точки M0, мы не будем рассматривать этот случай.

Условный экстремум:

Функция z=f(x,y) имеет в точке Р₀ (x₀,y₀) условный максимум, если существует такая окрестность  точки Р₀,  что для всех точек Р (x,y) этой окрестности, отличных от точки Р₀, удовлетворяющих уравнению связи φ(x,y)=0, выполняется неравенство f(x₀,y₀)>f(x,y).

Соответственно, функция z=f(x,y) имеет в точке Р₀ (x₀,y₀) условный минимум, если существует такая окрестность  точки Р₀,  что для всех точек Р (x,y) этой окрестности, отличных от точки Р₀, удовлетворяющих уравнению связи φ(x,y)=0 выполняется неравенство f(x₀,y₀)<f(x,y).

Задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум функции Логранжа.

Координаты экстремальной точки должны удовлетворять 3 уравнениям:

Из этой системы определяются критические точки и соответствующие значения λ.

Достаточным условием экстремума является знакопостоянство d²L(x,y,λ) в критической точке.

 

77. Метод множителей Лагранжа для решения классической задачи на условный экстремум.