12. Непрерывные случайные величины. Вычисление математического ожидания и дисперсии для равномерно и нормально распределенных случайных величин.

Сл\в Х наз-ся непрерывной, если её Функция Распределения непрерывна в любой точке и дифференцируемая во всюду, кроме отдельных точек (точки излома).

Мат\ожиданием дискретной сл\в называется сумма произведений всех возможных значений сл\в на их вероятности.

Мат\о существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно. С точки зрения вер-ти можно сказать, что м\о приближенно = среднему арифметическому наблюдаемых значений сл\в.

Пусть НСВ Х задана ФР F(x). Допустим, что все возможные значения сл\в принадлежат отрезку [a,b].

Мат\ож-м  НСВ Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], наз-ся определенный интеграл . Если возможные значения сл\в рассм-ся на всей числовой оси, то мат\о нах по формуле: , при этом предпол-ся, что несобственный интеграл сходится.

Дисперсией НСВ наз мат\ож квадрата ее отклонения. . По аналогии с дисперсией, дискретной сл\в, для практического вычисления дисперсии используется формула: .

13. Функция распределения непрерывной случайной величины и ее свойства. Функции плотности распределения. Мода, медиана. Начальные и центральные моменты. Примеры.

Функция распределения НСВ:

, в качестве способа задания НСВ используется функция распределения НСВ.

ФРНСВ наз вер-ть т\ч она примет значение меньшее заданного. -обознач ф-ии распр в-тей



Основные свойства ф-ии распределения НСВ:

С1.

С2.

С3.

С4. Вер-ть т\ч НСВ примет значение из интервала, равна приращению ф-ии на этом интервале

1 )

₂₎

Скорость изменения функции распределения хар-ся плотностью распр-я. Обозначается символом . Плотностью вер-ти (плотностью распр-я) НСВ Х наз-ся производная её ф-ии распр-я

Свойства плотности распр-я (ПР):

С1. ПР – неотрицательная функция. ;

С2. Вер-ть попадания НСВ в интервал [a,b] равна определённому интегралу от её плотности вер-ти в пределах от a до b, т.е.

С3. Ф-я распр НСВ м\б выражена через плотность вер-ти по формуле:

С4. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вер-ти НСВ =1.

Мода Мо(Х) случ. величины X - наз-ся ее наиболее вероятное значение (для которого вер-сть рi или плотность вер-сти φ(х) достигает max). Медиана Ме(Х) непрерывной случ. величины X наз-тся такое ее значение, для которого Р(X<Me(X))=P(X>Me(X))=0,5, т.е. вер-сть того, что X примет значение, < Ме(Х) или > ее, одна и та же и = 0,5. Геометрически: вертикальная прямая, проходящая через точку х=Ме(Х), делит площадь фигуры под кривой распределения на 2 равные части. Начальным моментом k-го порядка случ. велич X наз-ся мат. ожидание k-й степени этой величины: νk=M(X^k). Для непрерывн случ велич: νk=∫х^k φ(x)dx (интеграл от -∞ до +∞). Центральный моментом k-го порядка случ. велич. X наз-тся матю ожидание k-й степени отклонения X от ее мат. ожидания: μk=M[X-M(X)]^k. Для непрерывной случ велич: μk= ∫(х-М(Х))^k φ(x)dx (интеграл от -∞ до +∞).

14. Понятие о законе больших чисел. Неравенство Чебышева (док-во).

З-н больших чисел – раздел теор вер-сти, в кот изуч-ся факторы, влияющие на измерение чисел →∞.

Нер-во Чебышева.

Для любой случ вел, имеющей

мат ожидание и дисперсию, справедливо нер-во Чебышева: P(|X-M(X)|>ε)≤D(X)\ ε^2, где ε>0.

15. Теорема Чебышева (док-во). Центральная предельная теорема Ляпунова (без док-ва). Примеры.

Теор Чебышева.

Если дисперсии n независимых случ вел Х1, X2,..., Хn ограничены одной и той же постоянной, то при n→∞ средняя арифметическая случ вел-н сходится по вер-сти к средней

арифметической их мат ожиданий а1, а2,...,аn, т.е.:

Центральная предельная теор. представляет собой группу

теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный з-н р-я. Среди этих теорем

важнейшее место принадлежит теор Ляпунова.

16. Основные понятия математической статистики: генеральная совокупность, выборка, выборочные характеристики. Методы отбора.

В практике статистических наблюдений различают 2 вида наблюдений: сплошное, когда изучаются все объекты совокупности, и несплошное, выборочное, когда изучается часть объектов. Вся подлежащая изучению совокупность объектов - генеральная совокупность. Та часть объектов, которая отобрана для изучения из генеральной совокупности - выборка.

17. Статистические оценки и их свойства: несмещенность, эффективность, и состоятельность. Примеры.

. Задача выборочного метода является оценка параметров ген совок-сти по данным выборки. Оценкой θn параметра θ называют всякую функцию результатов наблюдений над случайной величиной X, с помощью которой судят о значении параметра θ. Поскольку Х1, Х2,..., Хn - случ вел, то и оценка θn (в отличие от оцениваемого параметра θ - величины неслучайной) является случ вел, зависящей от з-на р-я X и числа n. Св-ва оценок: Оценка θn параметра θ наз-тся несмещенной, если ее мат ожидание равно оцениваемому параметру. В противном случае оценка наз-ся смещенной. Несмещенная оценка наз-тся эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра θ, вычисленных по выборкам одного и того же объема n.