Вопрос 17. Статистические оценки неизвестных параметров распределения. Свойства оценок. Точечные оценки матожидания и дисперсии. Теорема о свойствах этих оценок.

Статистической оценкой параметра называют некоторую функцию от результатов наблюдений за СВ Х (статистику), с помощью которой судят о значении неизвестного параметра .

является случайной величиной, зависящей и от закона распределения, и от объема выборки, а параметр - величина неслучайная, детерминированная (определенная).

О качестве статистической оценки судят не по индивидуальному ее значению, а лишь по распределению ее значений в большой группе испытаний, т.е. по выборочному распределению оценки.

Свойства:.

1. оценка параметра называется несмещенной, если E = . Если E не равно , то оценка называется смещенной.

Замечание: несмещенный оценки в среднем совпадают с истинным значением .

2. Чтобы не давала систематической ошибки в определении в сторону завышения или занижения, надо требовать, чтобы E = . Если E , то называется асимптотически несмещенной. Требование несмещенности оценки особенно важно при малом количестве наблюдений.

3. Оценка неизвестного параметра генеральной совокупности называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру. Свойство состоятельности оценки обязательно для любого правила оценивания (несостоятельные оценки не используются).

Теорема 1: если оценка является несмещенной оценкой и ее Д , то - состоятельная оценка.

Док-во: для СВ запишем неравенство Чебышева для любых

По условию Д значит , но вероятность не

Может быть >1,следовательно этот предел должен быть равен 1 теорема доказана.

Эффективную оценку в ряде случаев можно найти, используя неравенство Крамера - Рао , где I – функция оценки

Замечание: на практике не всегда удается удовлетворить всем «хорошим» свойствам статистических оценок. Все три свойства определяют оценку однозначно.

Теорема 2: оценки - несмещенные, а оценка еще и состоятельная.

ВОПРОС № 18. виды зависимости. Функции регрессии, линии регрессии, коэф-ты ререссии и тп...

Основная задача регрессионного анализа: установление формы и изучение степени зависимости между компонентами выборки, оценка функции регрессии и оценка неизвестных значений (параметров).

Различные виды зависимости:

- функциональная зависимость

Каждому значению одной компоненты соответствует определенное (детерминированное) значение другой компоненты (сильная зависимость);

- статистическая зависимость (стохастическая или вероятностная)

Каждому значению одной компоненты соответствует определенное (условное) распределенное значение другой компоненты.

Например, зависимость между числом отказов прибора и затратами на профилактический ремонт этого прибора, между весом и ростом человека, между затратами времени школьника на просмотр телевизора и на чтение книг.

В силу неоднозначности статистической зависимости между X и Y для исследования представляет интерес усредненная по переменным X схема зависимости, т.е. закономерность в изменении усл. математического ожидания EX (в предположении, что X заморожена) в зависимости от X

- корреляционной зависимостью между компонентами (X, Y) называется функциональная зависимость между значением одной компоненты и условным математическим ожиданием другой.

− модельное уравнение регрессии Y на X.

– модельное уравнение регрессии X на Y.

Графики – линии регрессии.

Статистические связи между компонентами выборки (форма) определяются методами регрессионной зависимости и корреляционного анализа (степень).

, где a и b − коэффициенты регрессии.

Параметры a и b уравнения регрессии чаще всего оцениваются с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Суть его состоит в том, чтобы зная положение точек на плоскости XY, так провести линию регрессии, чтобы сумма квадратов отклонений этих точек от проведенной прямой вдоль оси OY была минимальной.

Математически критерий оценки параметров линейной парной регрессии записывается так:

Q =   =     =     →  min.

Условие существования экстремума функции – равенство нулю производной:

= - 2 (yi - a - bxi) = 0, = - 2 (yi - a - bxi)xi = 0.

Раскрыв скобки и выполнив преобразования, получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

na + b xi = yi, a xi + b = xiyi.

Разделив первое уравнение на n, получим:

a + b = ,

т.е. метод наименьших квадратов дает прямую, проходящую через точку ( , ).

Решая систему, получим расчетные формулы для нахождения коэффициентов уравнения регрессии:

a = - b .