12 Важнейшие непрерывные распределения, их квантили и процентные точки.
1 Равномерный закон распределения- Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на отрезке [а,b], если её плотность вероятности (х) постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его.
Теорема. Функция
распределения случайной величины Х,
распределённой по равномерному закон,
есть 
Её математическое ожидание 
А дисперсия 
2 Показательный закон
распределения – Непрерывная
случайная величина Х имеет показательный
закон распределения с параметром >0,
если её плотность вероятности имеет
вид 
Теорема Функция
распределения случайной
величины Х, распределённой по показательному
закону есть 
Её математическое ожидание 
А дисперсия 
3 Нормальный закон распределения –
Непрерывная случайная величина Х имеет
нормальный закон распределения с
параметрами а и 
,
если её плотность вероятности имеет
вид 
Теорема Математическое ожидание случайной величины Х, распределённой по нормальному закону, равно параметру а этого закона
М(Х)=а
D(Х)=
13) Предельные теоремы в теории вероятностей. Неравенства маркова и чебышева. Центральная предельная теорема и закон больших чисел. Теорема чебышева. Теорема бернули.
Предельные теоремы ТВ устанавливают связь между теоретическими и эксперементальными характеристиками Случайных Величин. Предельные теоремы делят на 2 группы:
1 группа – ЗБЧ (закон больших чисел): устанавливает устойчивость средних значений (при большом числе испытаний их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с достаточной точностью).
2 группа – ЦПТ (центральная предельная теорема): устанавливают условия, при которых закон распределения суммы большого числа случайной величины (СВ) не ограниченно приближается к нормальному закону.
Неравенство Чебышева которое используют для грубой оценки вероятности событий, связанных со случайными величинами, распределенными по случайному закону, и для доказательства ряда теорем закона больших чисел (ЗБЧ).
Теорема 1
Если у случайной величины Х существует
конечное мат.ожидание ЕХ=а <
и DX<
,
то для любого малого положительного
числа ε>0 
– неравенство Чебышева.
Док-во: докажем для непрерывной
случ.величины (НСВ) Х с плотностью f(x).
=
Следствие: Любой ε>0 
Замечание: Т-1 верна для любой СВ Х с конечными EX и DX.
Оценку вероятности попадания Случайной
Величины Х в отрезок Х
дает неравенство Маркова.
Теорема 2
Для любой неотрицательной СВ Х (х
0)
с EX конечным и
любым 
неравенство Маркова
Док-во: (НСВ Х с плотностью f(x)).
(1
,
т.к Х
.
Следствие: P
Теорема 3 (ЗБЧ в форме Чебышева – 1886 год)
Если СВ х1 х2…
независимы и существуют только
положительное число С>0, что все ( это
свойство называют равномерная
ограниченность 
),
то для любого ε>0 
Док-во: 
Рассмотрим 
и применим к ней неравенство из Т-1: 
(1). Переходя в (1) к пределу при n→∞
получается доказательство Т-3.
Теорема Бернулли исторически является первой и наиболее простой формой ЗБЧ.
Теорема 4 (ЗБЧ в форме Бернулли – 1713 год). Если вероятность события А в первом испытании равна р, число наступлений этого события А при n-независимых испытаний равно nА, то для любого ε>0:
=1
(т.е относительная частота 
→
p=P(A))
– без доказат-а.
ВОПРОС № 15. статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция, графическое изображение выборки (полигон, гистограмма, кумулята)
Статистическое распределение выборки
Наблюдаемые значения количественного
признака X:
,
,…
называется вариантами.
Вариационным рядом называется
последовательность значений вариант
,
,…
записанная в возрастающем порядке.