Вопрос 9. Числовые характеристики св. Производящая функция для вычисления матожидания и дисперсии

1. Первый момент СВ Х называется матожиданием, или средним значением МХ=ЕХ (был введен для определения ожидаемого результата в многократно повторяемой игре).

Для дискретных СВ Х:

(1)

Замечание: если множество значений Х конечно, то ЕХ существует всегда.

Утверждение: для того чтобы существовало ЕХ, для СВ со счетным множеством значений, надо, чтобы результат (1) не зависил от порядка суммирования.

Для непрерывной СВ Х с плотностью f(x) , причем интеграл должен абсолютно сходится .

Общее определение матожидания СВ Х: мат.ожидание случ.величины есть , где (х) – функция распределения СВ Х.

Сво-ва мат.ожидания: 1) мат ожидание постоянной равно самой постоянной EC=C=const 2) E(X+Y)=EX+EY 3) E(C*X)=C*EX

Кроме среднего значения СВ, которое характеризует центр распределения, представляет интерес и разброс значений СВ около центра. Для количественной характеристики этого разброса служит второй центральный момент СВ, называемый дисперсией СВ Х , обозначаемый ДХ(русский вариант), или вариацией Var(X). ДХ=Var(Х).

Определение: ДХ=Var(Х)= , где для любых СВ Х СВ называется отклонением (Х от своего матожидания ЕХ).

Замечание: ДХ существует не всегда и не у всех СВ или не у всех распределений.

Свойства дисперсии: 1) ДС=0 и 2) для любой постоянной C=const Д(Х+С)=ДХ, Д(С*Х)=

Определение: моменты – это размерные величины, а на практике чаще используют нормированные моменты: коэффициент асимметрии = или

Коэффициент эксцесса =

Квантилью СВ Х, имеющая ФР F(X), называется корень уравнения

2. Для нахождения важнейших числовых характеристик ДСВ с целыми неотрицательными значениями удобно использовать производящую функцию.

Пусть ДСВ Х принимает значения 0,1,2,3,…, k с соответствующими вероятностями p1,p2,… Производящей функцией для ДСВ Х называется функция вида (1) (z-производящий параметр, ). Продифференцируем (1) по z: , вычислим . Найдем