7) Понятие о св. Закон распределения св, виды св. Способы задания дискретных св., функция распределения и ее свойства.

Случайные Величины (СВ) и случайные события – основные понятия ТВ. СВ обозначаются X,Y,Z . значениям СВ соответствуют малые буквы x,y,z

СВ, принимающие конечное или счетное число значений, называются дискретными СВ.

Если СВ принимает несчетное количество значений, то она называется непрерывной СВ. Существует СВ смешанного типа.

Строгое определение СВ. СВ X - называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий Ω, которая каждому элементарному событию ставит в соответствие число X(ω),т.е. X=X(ω), (ω принадлежит Ω).

X: Ω - числовое множество, причем X(ω) должна быть такова, что для любого действительного числа событие А={ ω: X(ω)<x}принадлежит сигме-алгебре A и для любого такого события определяется вероятность P(A) = P(X<x).

Замечание Если множество Ω конечно или счетно, то случ.величина будет дискретной. Если N(Ω)>N(все подмножества Ω) образует алгебру множеств.

Любое правило (таблица, функция, график), позволяющая находить вероятности произвольных событий из сигма алгебры A, в частности, правила указывающие вероятности отдельных значений СВ или множества этих значений, называется законом распределения СВ.

Закон распределения можно задать графически. Если на оси абсцисс откладывать знач. случайных величин, а на оси ординат вероятности этих значений, то ломаную с вершинами (x1,p1)(x2,p2)…(xn,pn).. – называется полигоном распределения СВ X.

Строгое опред. дискретной случ.величины (ДСВ): СВ X – дискретна, если существует конечное или счетное множество чисел x1,x2,.. таких, что P(X=xi)=Pi>0; i=1,2,… и суммы этих вероятностей p1+p2+….=1

Операции с дискретной случайной величиной (ДСВ). Суммой (разностью,призведением) ДСВ X, принимающей значение xi с вероятностями pi= P{X=xi}, i=1,2,…n и ДСВ Y, принимающей значение yj с вероятностями pj= P{Y=yj}, j=1,2,…m, назовем ДСВ Z ; Z= X+Y(X-Y;X*Y),принимающей значение Zij= xi+yj(xi-yj;xi*yj) c вероятностями pij= P{X=xi,Y=yj} для каждого i=1,…,n j= 1,…m.

В случае совпадения значений сумм xi+yj(xi-yj;xi*yj) соответствующие вероятности складываются.

Произведение ДСВ X на число α, называется ДСВ α *X, принимающей значение α *xi с вер-ми pi=P{ α *X= α *xi}= P{X=xi}.

Две Дискретные случайные величины X и Y, называются независимыми, если события {X=xi} и {Y=yi} независимы. Для независимых СВ вероятность того, что они примят свое значение вычисляется как произведение вероятности P{X=xi, Y=Yi}=P{X=xi}*P{Y=yj}. В противном случае СВ X и Y будут зависимыми.

Несколько СВ называются взаимо-независимыми, если закон распределения одной СВ не зависит от того, какие значения приняли другие СВ.

Функция распределения.(ФР)

Определение. Функцией распределения СВ X называется функция F(x), которая для любых действительных X равна вероятности события P{X≤x}=P{ ω: X(ω)<x}.

F(x) называется интегральной функцией распределения.

Свойства функции распределения любой СВ.

1. Функция распределения ограничена. 0≤F(x) ≤1

2. Функция распределения является не убывающей для любого x принадлежащего R: x1<x2 F(x1) ≤F(x2)

3. F(-∞) = 0 F(+∞) = 1

4. P{a≤X≤b}= F(b)-F(a)

5. F(x) непрерывна слева