23. Гипотезы о сравнении двух средних и двух дисперсий

гипотезы о сравнении двух средних.

Пусть имеются 2 совокупности, характеризуемые генеральными средними и известными дисперсиями . Необходимо проверить гипотезу H₀ о равенстве генеральных средних, т.е. Н₀: . Для проверки гипотезы Н₀ из этих совокупностей взяты две независимые выборки объемов n₁ и n₂, по которым найдены средние арифметические и выборочные дисперсии . При достаточно больших объемах выборки выборочные средние имеют приближенно нормальный закон распределения, соответственно . В случае справедливости гипотезы Н₀ разность имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией (напомним, что дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, а дисперсия средней n независимых слагаемых в n раз меньше дисперсии каждого). Поэтому при выполнении гипотезы Н₀ статистика

имеет стандартное нормальное распределение N(0;1)

В случае конкурирующей гипотезы выбирают одностороннюю критическую область и критическое значение статистики находят из условия (1), а при конкурирующей гипотезе выбирают двустороннюю критическую область и критическое значение статистики находят из условия (2)

• Если фактически наблюдаемое значение статистики t больше критического t_критич , определенного на уровне значимости α (по абсолютной величине) , т.е |t|>t_критич, то гипотеза H₀ отвергается.

• Если |t|≤ t_критич, то делается вывод, что нулевая гипотеза H₀ не противоречит имеющимся наблюдениям ( принимается)

Теперь будем предполагать, что распределение признака (случайной величины) Х и У в каждой совокупности имеет нормальный закон. В этом случае, если дисперсии известны , то проверка гипотезы проводится так же, как описано выше, не только для больших, но и для малых по объему выборок. Если же дисперсии не известны, но равны, т.е. , то в качестве неизвестной величины можно взять ее оценку – «исправленную» выборочную дисперсию .

Однако «лучшей» оценкой для будет дисперсия «смешанной» совокупности объема n₁+n₂,т.е.

(обращаем внимание на то, что число степеней свободы k=n₁+n₂-2 на 2 меньше общего числа наблюдений n₁+n₂, так как две степени свободы «теряются» при определении по выборочным данным средних ).

Доказано, что в случае справедливости гипотезы Н₀ статистика имеет t-распределение Стьюдента с k=n₁+n₂-2 степенями свободы . Поэтому критическое значение статистики t находится по тем же формулам (1) или (2) в зависимости от типа критической области, в которых вместо фун-ии Лапласа Ф(t) берется функция для распределения Стьюдента при числе степеней свободы k=n₁+n₂-2, т.е =1-2α или =1-α. При этом сохраняется то же правило опровержения (принятия) гипотезы: гипотеза Н₀ отвергается на уровне значимости α, если ( в случае односторонней критической области); либо если ( в случае двусторонней критической области); в противном случае гипотеза Н₀ не отвергается (принимается)

проверка гипотез о равенстве двух дисперсий

Пусть имеются две нормально распределенные совокупности, дисперсии которых равны . Необходимо проверить нулевую гипотезу о равенстве дисперсий, т.е. относительно конкурирующей Для проверки гипотезы Н₀ из этих совокупностей взяты две независимые выборки объемом n₁и n₂. Для оценки дисперсий используются «исправленные» выборочные дисперсии . Следовательно, задача проверки гипотезы сводится к сравнению дисперсий . При справедливости гипотезы в качестве оценки можно взять те же дисперсии , рассчитанные по элементам первой и второй выборок. Напомним, что выборочные характеристики имеют распределение соответственно с k₁=n₁-1 и k₂=n₂-1 степенями свободы, а их отношение имеет F- распределение Фишера-Снедекора с k1 и k2 степеням свободы. Следовательно, случайная величина F, определяемая отношением т.е. отношением «исправленных» выборочных дисперсий, имеет F-распределение Фишера-Снедекора с k₁=n₁-1 и k₂=n₂-1 степенями свободы. При формировании критерия отклонения (принятия) гипотезы Н₀ следует учесть, что распределение статистики F (в отличие от нормального или распределения Стьюдента) является несимметричным. Поэтому гипотеза Н₀ отвергается, если (в случае правосторонней критической области), либо если (в случае левосторонней критической области), либо если или ( в случае двусторонней критической области). В противном случае гипотеза Н₀ принимается.