Вопрос 19. Методы получения точечных оценок(моментов, максимального правдоподобия и наименьших квадратов). Выравнивание результатов наблюдений.
(Х1,Х2,…Хn) выборка , где Хi случ. величина с функцией распределения F(x)
Х с F(x) - признак за которым ведётся наблюдение.
(x1,х2,…хn)- числа реализации выборки
Если 
=
(х1,х2,…хn)
приближённо равно значению неизвестного
параметра распределения то само число
наз. точечной оценкой
,
а функция
=
(х1,х2,…хn)
тоже называется статистической оценкой.
-
точечная оценка для неизвестного мат.
ожид.
-
для дисперсии
Теорема: Статистически 
и 
являются несмещенными и состоятельными
оценками для неизвестного мат. ожид. и
дисперсии случайной величины Х за
которой ведут наблюдение.
Оценка как случ. велич. имеющая n
аргументов наз. состоятельной оценкой
, если выполняется след. условие
Р{
n-
>
}
0
1)Метод моментов. Если распределение
зависит от первого параметра(плотности)
или ф-ия распределения F(x;
)
для нахождения оценки методом моментов,
то надо приравнять к первому выборочному
ЕХ=
,
ЕХ=
F(x;
)
dx=
Недостаток этого метода – неэффективность.
2)Метод максимального правдоподобия. Функции правдоподобия L(х1,х2,…,хn/ ) построена по выборке (х1,х2,..,хn) называется функцией аргумента след.вида если Х- непрерывная слу.величина, то L(X1,…,Xn/ )=P{X1=x1}*P2{X2=x2}*…*Pn{Xn=xn}
За точечную оценку параметра
согласно методам максимального
правдоподобия берут такое значение
параметра достигает максимума, т.е.
оценка является решением уравнения
правдоподобия. 
или dlnL(x;
)=0.
Достаточное условие максимума 
Чаще всего метод максим. правдоподобия оценки является смещённой , но это можно исправить.
3)Метод наименьших квадратов. В МИК
требуется найти такое значении е 
которое сводится к минимуму суммы
S(
)=
Если не имеем мат. ожид. и дисперсию,
тогда можно считать 
S(
Выравнивание результатов измерения.
Ошибка измерения
Находим 
2.выравниваем результаты измерения
……………………..
Ответ: принять новые результаты
за значение результатов измерения
Х1=
,…,
При выравнивании значений можно считать
ошибки измерений распределения по
нормальным законам с нулевым матем.
ожид. и дисперсиями 
.
20. Доверительное оценивание. Построение интервальных оценок
Пусть число
называется доверительной
вероятностью. Если указаны 2 статистики
(функции от выборки): θ’(х1, х2…) и
θ’’(х1,х2…) вероятность, что неизвестное
значение θ
(
θ’; θ’’)равна 
,
т.е 
,
то (
называют доверительным интервалом,
соответствующим
.
Если одна из границ
интервала (
θ’; θ’’) задается равной бесконечности
или придельным значением параметра (0
или вероятностей) то доверительный
интервал называется односторонним.
если (
- нижний доверительный
интервал. (
(
- верхний доверительный
интервал.
Замечание: (
является случайным интервалом, так как
его концы являются статистиками ( как
и его точная оценка неизвестного
параметра). И он может накрыть истинное
значение θ, но происходит это с вероятность
(1-
,
т.е если:
1,
то 1-
0.
Квантиль – это
функция обратная для функции распределения
F(x).
F
– квантиль.
Пусть в результате n
испытаний событие А испытывается Sn
раз. Случайная величина Х – частота А.
Sn имеет биномиальное распределение с параметрами n и p. E(Sn)= n*p. E(X)=p
= >
2 подхода:
1)известно точное распределение оцениваемого параметра
2) известно асимптотическое распределение оцениваемого параметра (при n→∞).