1. Операции со множествами. Размещения, сочетания, перестановки. Различные схемы выбора.

Комбинаторика – раздел математики, изучающий методы решения комбинаторных задач, т.е. подсчет числа различных комбинаций из элементов некоторого конечного множества

2 Основных правила комбинаторики:

1) правило суммы. Если элемент а₁ может быть выбран n₁ способами, а₂ другими n₂ способами, а_к своими, отличными от предыдущий способами n_k, то выбор одного из элементов может быть осуществлен n₁+n₂+...+n_k способами

2) правило умножения. Если элемент а₁ может быть выбран n₁ способами, а₂ другими n₂ способами, а_к своими, отличными от предыдущий способами n_k, то выбор всех (а1,а2,а_к) элементов в указанном порядке м.б. осуществлен (n1*n2*...*n_k) способами.

Пусть дано множество вида А=(а1...а_к); a_i€A; (1). Из элементов множества А можно образовать подмножество, состоящее из m – элементов (0≤m≤k).

◦Если комбинации из к-элементов по m отличаются либо составом, либо порядком следования (либо и тем и другим), то такие комбинации наз-ся размещениями из k по m; кол-во размещений из k элементов по m равно (2)

◦ Если комбинация из k-элементов по m отличаются только составом элементов, то их наз-ют сочетаниями . Число сочетаний из k по m равно (3)

Свойства числа сочетаний

◦Если комбинации из k элементов отличают только порядком следования, то они наз-ся перестановками, число перестановок из k элементов равно P_k=k! (4)

Формулы (2),(3) и (4) справедливы для комбинаций без повтора элементов

◦Если в размещениях (сочетаниях) из k по m допустимы одинаковые элементы, то такие комбинации наз-ся размещениями (сочитаниями) с повторениями.

Число размещений с повторениями равно (5). Число сочетаний с повторениями из k по m равно (6)

Если в перестановках из k элементов есть различных элементов, при этом 1ый элемент повторяется к₁ ра, 2ой- к₂ раз,... -ый к_l раз, причем к=к1+к2+...+k_l, то такие перестановки наз-ся перестановкой с повторением из к-элементов с вектором повторений (к1,к2,к_l).

Число их (7)

Схемы выбора:

Урновые модели. Урна с шарами, не различимыми на ощупь. Пусть в урне М пронумерованных шаров.

I схема выбора без возвращения (выборки упорядочны). Из урны один за другим извлекают без возвращения n шаров (n≤M); тогда набор чисел (а1,а2....а_n)= , можно зафиксировать выборку n шаров из m шаров в урне.

Пусть для n=2 выборки (1;2)≠(2;1), тогда

Теорема 1. в схеме I число размещений выборки равно (n≥1).

Доказ-во. 1-ый шар можно выбрать М способами, 2- М-1 способами, n-ый (М-(n-1)) способами. Всего по правилу умножения . Докажем методом математич. индукции n=1 . Пусть утверждение верно для (n-1). Докажем, что утверждение будет верным для (n-1)+1=n. Выберем 1-ый шар – M способами, а остальные шары по предположению индукции можно выбрать , так как если 2 выборки отличаются 1ым шаром мы считаем различными, то число

II схема выбора без возвращения, но выборки не упорядочны. Из урны (M шаров)- извлекают n шаров. порядок не существенен, тогда

Теорема 2. в схеме II число . Док-во: выборки отличаются только составом - неупорядочны. Сколько существует упорядоченных выборок, соответствующих 1ой неупорядоченной? Ответ: столько, сколько сущ-ет способов упорядочить n-разных элементов, а это число перестановок из n элементов в n!.

В след. неупорядоченной выборке число в n! раз меньше, чем упорядоченной

III схема выбора с возвращение (выборка упорядоченна) Из урны с М шарами извлекают 1 шар, записываем его номер и возвращаем назад в урну. Это повторяется n-раз.

Теорема 3. в схеме III число . Док-во число здесь равно числу векторов, все коэфициенты которого является натуральными числами; ≤М., По правилу умножения Мⁿ. Доказано.