1. Определение и свойства операции сложения матриц.

Суммой A+B матриц размера mхn и называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответственных элементов матриц A и B :

Свойства:

1. А+В = В+А

2. (A+B)+C = A+(B+C)

3. λ(A+B) = λA+λB

4. A(B+C) = AB + AC

5. (A+B)C = AC + BC

2. О пределение и свойства операции умножения матриц на число.

П роизведением числа и матрицы называется матрица , получающаяся из матрицы A умножением всех ее элементов на :

Свойства:

1. λ(A+B) = λA+λB

2. λ(AB)=(λA)B=A(λB)

3. О пределение и свойства операции умножения матриц.

П роизведением AB матрицы размера mхn и матрицы размера nхk называется матрица размера mхk , элемент которой равен сумме произведений соответственных элементов i-ой строки матрицы A и j-го столбца матрицы B :

Свойства:

1. A(B+C) = AB + AC

2. (A+B)C = AC + BC

3. А(ВС)=(АВ)С

4. λ(AB)=(λA)B=A(λB)

4. Некоммутативность умножения матриц.

Для матриц, вообще говоря, АВ ≠ ВА.

Если АВ = ВА, матрицы А и В называются коммутирующими.

5. Единичная матрица и её свойства.

Д ля квадратных матриц определена единичная матрица порядка n – квадратная матрица nxn , все диагональные элементы которой равны единице, а остальные – нулю:

Свойство:

Для любой квадратной матрицы А выполнено:

АЕ = ЕА = А

6. Обратимые матрицы и их свойства.

Квадратная матрица А называется обратимой, если найдётся квадратная матрица В такая, что выполняются равенства:

А ^. В = В ^. А = Е

В этом случае матрица В называется обратной к матрице А и обозначается

В = А^-1

С войства:

1 )

2 )

7. Транспонирование матрицы. Простейшие свойства.

A - матрица размера m x n

А^T - матрица размера n x m ,

называется транспонированной для A

Обозначения:

Свойства:

1 )

2 )

3)

8. Определение многочлена от матрицы.

Е сли А – квадратная матрица n-го порядка и

– многочлен m-й степени, то выражение

,

где Е – единичная матрица порядка n, называется многочленом от матрицы А .

9. Определители 2-го порядка.

О пределителем 2-го порядка, соответствующим матрице A (определителем матрицы А), называется число

10. О пределители 3-го порядка.

Определителем 3-го порядка, соответствующим матрице A , называется число

11. О пределитель матрицы порядка n. Определение.

Определителем n-го порядка, соответствующим матрице A, называется число detA, равное сумме всех произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки и снабженных знаком «+» или «-» по определённому правилу – «правилу знаков»:

Ч исло t (s) равно числу транспозиций, которое нужно сделать, чтобы перейти от основной перестановки (1,2,…,n) к перестановке

12. Общее правило знака.

Ч исло t (s) равно числу транспозиций, которое нужно сделать, чтобы перейти от основной перестановки (1,2,…,n) к перестановке

13. Свойства определителя: определитель транспонированной матрицы.

Определитель не меняется при транспонировании (свойство равноправности строк и столбцов матрицы).

14. Свойства определителя: определитель матрицы, содержащей нулевую строку (столбец).

Если все элементы некоторой строки (столбца) матрицы равны нулю, то и определитель равен нулю.

15. Свойства определителя: определитель матрицы, строка которой есть сумма двух строк.

Если в определителе некоторая строка (столбец) есть сумма двух других строк (столбцов), то определитель равен сумме двух определителей с этими строками (столбцами) , а все остальные строки (столбцы) этих определителей равны строкам (столбцам) исходного определителя.

16. Свойства определителя: определитель матрицы, строка которой имеет общий множитель.

Е сли все элементы некоторой строки (столбца) содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя).

17. Свойства определителя: изменение определителя при перемене местами двух строк; определитель матрицы с двумя одинаковыми строками.

При перестановке двух строк (столбцов) между собой величина определителя меняет лишь знак.

Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

18. Свойства определителя: поведение определителя при элементарных преобразованиях матрицы.

1. При умножении строки (столбца) на число, отличное от нуля определитель тоже умножается на это число.

2. При прибавлении к одной строке (столбцу) другой, умноженной на любое число определитель не меняется.

3. При перемене местами двух строк (столбцов) определитель меняет лишь знак.

19. Определитель верхнетреугольной матрицы.

Определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

20. А лгебраическое дополнение элемента матрицы.

Алгебраическим дополнением элемента называется следующий определитель n-го порядка

21. Минор, соответствующий элементу матрицы. Связь между минором и алгебраическим дополнением элемента матрицы.

М инором соответствующим элементу определителя n-го порядка, называется определитель (n-1)-го порядка, получающийся из исходного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

22. Определитель клеточнодиагональной матрицы.

Определитель клеточно-диагональной матрицы равен произведению определителей матриц, являющихся клетками исходной матрицы.

A1

A2

A =

A3

23. Методы вычисления определителя: алгоритм приведения к верхнетреугольному виду.

П усть требуется вычислить определитель порядка n.

1. Полагаем Если a₁₁=0, то поменяем местами первую строку и любую другую, в которой первый элемент не равен нулю.

2. П ервую строку оставляем без изменений. Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на число . Тогда

И так для каждой k-й строки, k=2,…,n.

П осле первого этапа преобразований матрица примет вид

В силу свойств определителя

3. Аналогичным образом получим нули ниже главной диагонали в столбцах 2, 3, …, n.

4. 

24. М етоды вычисления определителя: алгоритм метода понижения порядка.

Минором соответствующим элементу определителя n-го порядка, называется определитель (n-1)-го порядка, получающийся из исходного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

С праведливо следующее равенство:

Р азложение определителя по i-ой строке

25. Определение обратной матрицы.

Квадратная матрица А называется обратимой, если найдётся квадратная матрица В такая, что выполняются равенства:

А*В = В*А = Е

В этом случае матрица В называется обратной к матрице А и обозначается

В = А^-1

26. Теорема об условии существования обратной матрицы.

Д ля того чтобы для матрицы А существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы был отличен от нуля, т.е. чтобы А была невырожденной. При этом

27. Свойства обратной матрицы.

1)

2)

28. М етоды построения обратной матрицы: алгоритм метода присоединенной матрицы.

П рисоединенная матрица определяется как транспонированная к матрице, составленной из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A :

Справедливо равенство

Из теоремы следует, что если A – невырожденная матрица, то

29. Методы построения обратной матрицы: алгоритм метода элементарных преобразований.

Для данной квадратной матрицы A n-го порядка строят прямоугольную матрицу Г_А = ( A | E ) размера nх2n, приписывая к A справа единичную матрицу.

Используя элементарные преобразования над строками, приводят матрицу Г_А к виду ( E | B ) , что всегда возможно, если A невырождена. Тогда B = A^-1.

30. Определение ранга матрицы.

Р ангом rgA матрицы А = {a_ij} называется целое число r , такое, что среди миноров r–го порядка матрицы А имеется хотя бы один, отличный от нуля, а все миноры (r+1)-го порядка равны нулю или миноров порядка (r+1) вообще нет.

Замечание: очевидно, что

31. Методы вычисления ранга матрицы: алгоритм метода элементарных преобразований.

М етод элементарных преобразований основан на том, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга. Используя эти преобразования, матрицу можно привести к трапециевидному виду, т.е. такому виду, когда все элементы при равны нулю и все строки с номерами i > r являются нулевыми.

Тогда rgA = r

32. Методы вычисления ранга матрицы: алгоритм метода окаймляющих миноров.

Пусть в матрице найден минор M k-го порядка, отличный от нуля. Рассматривают те миноры (k+1)-го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор M. Если все они равны нулю, то rgA = k.

В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор (k+1)-го порядка, и вся процедура повторяется.

33. Теорема Кронекера-Капелли.

С ЛУ совместна (т.е. имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы системы.

34. Теорема о числе решений СЛУ.

Пусть дана совместная СЛУ от n неизвестных с матрицей коэффициентов ранга r

Тогда:

1. если r = n , то система имеет единственное решение;

2. если r < n , то система имеет бесконечно много решений, причем (n – r) неизвестным можно присвоить произвольные значения, а остальные r неизвестных выражаются через них единственным образом.

35. Следствия из теоремы о числе решений СЛУ.

1. Система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение тогда и только тогда, когда матрица коэффициентов системы невырожденная.

2. Однородная система A^.X= 0 всегда совместна, т.к. имеет тривиальное решение X= 0. Для существования нетривиального решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось r = rgA < n.

36. Алгоритмы решения определенной СЛУ: правило Крамера.

Пусть дана совместная СЛУ от n неизвестных

Т огда система имеет единственное решение

где – определитель, получаемый из определителя заменой i -го столбца на столбец свободных членов.

37. Алгоритмы решения определенной СЛУ: метод Гаусса.

Идея метода Гаусса заключается в приведении расширенной матрицы СЛУ элементарными преобразованиями над строками к некоторому специальному виду (треугольному для матрицы коэффициентов) – прямой ход схемы Гаусса и нахождению затем множества решения системы с полученной расширенной матрицей (эта система равносильна исходной) – обратный ход схемы Гаусса.

38. А лгоритм решения произвольной СЛУ.

П усть , т.е. система совместна,

Приведем матрицу A к трапециевидному виду.

О тбросив последние m – r уравнений, запишем укороченную систему, эквивалентную исходной:

Назовем неизвестные x₁, x₂,…,x_r базисными, x_r+1, x_r+2,…,x_m свободными.

З апишем укороченную систему в виде

Для каждого набора свободных неизвестных

x_r+1= с₁ , x_r+2= с₂ , … , x_n= с_n-r

укороченная система имеет единственное решение:

называемое общим решением исходной СЛУ.