§1. Постановка задачи.
Постановка задачи: известны статистические свойства входного случайного сигнала Хвх(t), то есть известна n-мерная плотность вероятности при n, стремящемся к бесконечности, известны характеристики цепи.
Надо найти n-мерную плотность вероятности выходного сигнала Хвых(t) при n, стремящемся к бесконечности.
Любую нелинейную цепь можно представить в виде совокупности нелинейного элемента (НЭ) и линейного фильтра.
С точки зрения прохождения случайного сигнала нелинейная РЭЦ содержит два узла с противоположными свойствами:
1) Линейный фильтр – очень трудно, а в общем случае невозможно, найти закон распределения случайного сигнала на выходе линейного фильтра, зато легко находятся энергетический спектр, АКФ и неслучайные числовые характеристики.
2) Нелинейный элемент – ниже будет показано, что довольно просто на выходе НЭ находится закон распределения, зато трудно найти АКФ и энергетический спектр.
Следовательно, в общем случае задача прохождения случайного сигнала через нелинейную РЭЦ не имеет решения. Поддаются решению лишь частные задачи.
§2. Преобразование одномерного закона распределения случайного сигнала нелинейным безинерционным элементом.
Постановка задачи: известны одномерный закон распределения W(x) случайного сигнала X(t) и характеристика НЭ y=y(x). Требуется найти одномерный закон распределения W(y) случайного сигнала Y(t).
В математике подобная задача формулируется как нахождение закона распределения функционально преобразованной случайной величины.
При решении этой задачи возможны три случая:
1) Обратная зависимость x=x(y) существует и однозначна, то есть каждому значению y соответствует единственное и вполне определенное значение х.
dx, dy – бесконечно малые приращения.
Вероятность попадания у в интервал от у до у+dy равна вероятности попадания х в интервал от х до х+dx.
(1)
– решение задачи.
2) Обратная зависимость х=х(у) существует, но не однозначна, то есть каждому значению у соответствуют несколько вполне определенных значений х.
Вероятность попадания у в интервал от у до у+dy равна сумме вероятностей попадания х в соответствующие интервалы:
В общем случае, когда число значений х равно n:
(2)
3) Для некоторых значений у обратная зависимость х=х(у) не существует. Эти значения у будем называть особыми точками.
Пример:
Во всех точках у, кроме у0, W(y) находится либо по формуле (1), либо (2).
Для особой точки y=y0:
(3)
Примеры:
1)
X(t) –
гауссовский случайный сигнал с нулевым
матожиданием и дисперсией
.
-
квадратичная зависимость.
,
2) X(t) – случайный сигнал с равномерным распределением.
Характеристика
нелинейного элемента:
,
Равномерный закон распределения.
,
3) X(t) – нормальный случайный сигнал
Характеристика нелинейного элемента
Выделим
три области значений
:
─
:
:
;
– гауссовский
закон распределения
:
4)
-
случайный сигнал с релеевским законом
распределения;
Характеристика нелинейного элемента – ступенчатая.
Показать,
что
.