§2. Стационарность и эргодичность сс.

СС X(t) называется стационарным в узком смысле, если его плотности вероятности любого порядка n не изменяются при сдвиге всей группы сечений на произвольную величину t₀, то есть статистические свойства СС не зависят от начала отсчета времени.

где

Следствия:

1) Для такого колебания

Не зависят от времени.

2) двумерная плотность не зависит от моментов, в которых берутся сечения, а зависит лишь от разности моментов времени, в которых берутся сечения.

;

СС Х(t) называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, а АКФ, зависит лишь от разности моментов времени, в которых берутся сечения, т.е.

,где

Второму определению удовлетворяет более широкий класс сигналов.

Сигнал, стационарный в узком смысле, всегда является стационарным в широком смысле. Обратное утверждение в общем случае неверно.

Стационарный случайный сигнал Х(t) называется эргодическим, если его любые неслучайные числовые характеристики могут быть найдены не только путем усреднения по ансамблю реализаций, но и путем усреднения по времени его единственной реализации .

Усреднение по времени обозначается чертой сверху.

Примечание:

1) Усреднение должно происходить за бесконечно большой промежуток времени, т.е. реализация должна быть бесконечно большой.

2) У эргодического сигнала все реализации «похожи».

Заметим, что в нашем курсе чаще всего будут встречаться стационарные эргодические сигналы.

Физический смысл неслучайных числовых характеристик эргодического СС электрического происхождения.

Математическое ожидание m_x – постоянная составляющая СС.

Дисперсия - средняя мощность переменной составляющей СС, выделяемая на единичном сопротивлении.

σ_х – средне квадратичное отклонение СС (эффективное значение СС).

М₂ – второй начальный момент.

М₂= + - полная средняя мощность CC.

§3. Понятие автокорреляционной функции (акф) случайного сигнала.

АКФ СС X(t) называется детерминированная функция К_х(t₁,t₂), которая для любой пары моментов времени t₁,t₂ совпадает со вторым смешанным центральным моментом (корреляционным моментом) соответствующих сечений X(t₁) и X(t₂) СС.

Нормированная АКФ

- коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции характеризует связь значений СС в двух сечениях в моменты t₁ и t₂.

Можно записать

Чтобы различать АКФ K_x(t₁, t₂) и R_x(t₁, t₂), им дали разные названия.

R_x(t₁, t₂) – автокорреляционная функция.

K_x(t₁, t₂) – автоковариационная функция.

Два сечения СС X(t₁) и X(t₂) называются некоррелированными, если АКФ K_x(t₁, t₂)=0 или ρ_x(t₁, t₂)=0

Замечание: не следует путать понятие некоррелированность сечений и понятие статистическая независимость сечений . Статистически независимые сечения всегда некоррелированны. Обратное утверждение в общем случае неверно.

Для стационарного СС: АКФ зависит только от разности моментов времени, в которые берутся сечения.

Нормированная АКФ

, так так

Для эргодического СС: АКФ ищется по одной реализации

; смещенная на реализация x(t)