§4. Свойства акф стационарного сс.

- четность АКФ

- ;

;

-

АКФ может быть знакопеременной

- введем понятие интервала корреляции (время корреляции) τ₀. Интервалом корреляции называют такую величину τ₀, если при τ≥τ₀ АКФ

Сечения, разделенные временным интервалом τ≥τ₀, являются некоррелированными.

Реальные СС, как правило, имеют бесконечно протяженную АКФ, то есть τ₀=∞.

Поэтому на практике вводят другое понятие интервала корреляции: заменяют реальную нормированную АКФ прямоугольником высотой, равной 1, и площадью, равной площади под кривой АКФ.

То есть при τ≥τ₀ корреляция сохраняется, но ей пренебрегают.

§5. Энергетический спектр стационарного сс.

Введем понятие спектральной характеристики стационарного СС G_x(ω), как преобразование Фурье от АКФ.

(1)

Тогда

(2)

Эту пару преобразований называют преобразованиями Винера-Хинчина

Как видим, спектральная характеристика стационарного СС вещественная функция

Наряду с двухсторонней спектральной характеристикой G_x(ω) на практике применяют и одностороннюю спектральную характеристику

Все три варианта преобразования Винера – Хинчина эквивалентны.

Примечание: в задачниках и учебниках по радиотехнике приводятся таблицы формул, связывающих АКФ и энергетический спектр для типовых СС.

Если в выражении (6) принять τ=0, то

Так как

Продифференцируем обе части (7) по частоте и получим, что

Таким образом функция G_x(f) характеризует распределение средней мощности переменной составляющей СС по частоте.

Принято называть характеристику G_x(f) – энергетический спектр СС.

Площадь под кривой численно равна дисперсии (средней мощности переменной составляющей СС, выделяемой на единичном сопротивлении)

§6. Соотношение между шириной энергетического спектра и интервалом корреляции стационарного сс.

У СС X(t) энергетический спектр как правило бесконечно протяженный, поэтому на практике вводят следующее определение ширины спектра: заменяют реальную кривую G_x(f) прямоугольником с высотой, равной максимуму G_x(f), и площадью, равной площади под кривой.

Основание прямоугольника – ширина энергетического спектра .

Если , то .

Вывод: ширина энергетического спектра СС и интервал корреляции СС обратно пропорциональны, то есть чем шире спектр СС, тем меньше интервал корреляции и наоборот.

Можно показать, что ширина энергетического спектра и интервал корреляции характеризуют скорость изменения СС X(t) по времени: чем шире спектр, тем СС во времени изменяется быстрее и наоборот.

Заметить это можно по реализации СС.

§7. Нахождение (вычисление) энергетического спектра эргодического сс по амплитудному спектру его реализации.

Пусть – стационарный эргодический СС с нулевым математическим ожиданием .

Известна одна достаточно протяженная реализация . Вырежем кусок этой реализации протяженностью и назовем этот кусок усеченной реализацией.

Напомним, что реализация и усеченная реализация – детерминированные сигналы.

Найдем спектральную характеристику усеченной реализации .

Найдем энергию усеченной реализации, выделяемую на единичном сопротивлении, считая, что СС электрического происхождения.

(1)

(2)

Приравняем (1) и (2), разделим обе части на и возьмем предел при :

Так как левая часть равенства равна , то

Отсюда:

(3)

(4)

Вывод: чтобы найти энергетический спектр эргодического СС, нужно вычислить амплитудный спектр его усеченной реализации возвести в квадрат и разделить на длительность реализации , при условии, что достаточно велика.