1.1. Основные свойства пределов

1. , где С – постоянная.

2. , где С – постоянная.

3. . (1)

4. .

5. , если .

Сформулированные свойства справедливы не только в том случае, когда переменная х стремится к конечному значению х₀, но и при или . Как уже отмечалось, при вычислении пределов существенную роль играет понятие непрерывности функции. Напомним, что функция называется непрерывной в точке х₀, если справедливо равенство

(2)

т.е. предел функции, непрерывной в предельной точке, равен значению функции в этой точке. Можно доказать, что элементарные функции непрерывны во всех точках, в которых они определены. Как известно к основным элементарным функциям, в частности, относятся: целая рациональная , где ; дробно-рациональная , где -многочлены произвольных степеней n и m, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. К элементарным функциям, помимо основных, относятся функции, образованные из основных с помощью арифметических действий.

Линейная функция у=х-3 является элементарной, определенной, а следовательно и непрерывной при всех действительных значениях х. Тогда вычисляется по (2) при любых значениях х₀. Например, =5-3=2. Аналогично =2²=4.

Для вычисления пределов в более сложных случаях, вводится понятие бесконечно малой (б.м.) и бесконечно большой (б.б.) величин.

Функция называется б.м. при (при ), если имеет место равенство ( и т.д.). Например, рассмотренная ранее функция у=х-3 является б.м. при . Действительно, . Функция является б.м. при .

Функция называется б.б. при (при ), если ее значение неограниченно возрастает по абсолютной величине при (при ). В таком случае будем писать , или , если , возрастая по абсолютной величине, принимает только положительные (отрицательные) значения. Например у=2^х – б.б. при ; y=tg(x) – б.б. при ( ), -б.б. при .

Справедливы следующие свойства б.м. и б.б. величин Пусть - б.м. и - б.б. при , а функция f(x) – имеет конечный, отличный от нуля предел при ,

, , ,

тогда

, ; , б.б.;

, б.м.; , б.м (3)

, б.б.; , б.б.

Свойства (3) справедливы и при .

Рассмотрим . Функция не определена при х=3. Если подставить в выражение значение х=3, формально получим . Чтобы вычислить указанный предел, необходимо учесть свойство (3). Как отмечалось ранее, функция f(x)=x-3 является б.м. при , следовательно, - б.б при , так что . И так, гипербола является б.б при и б.м. при . График функций и приводится на Рис.5

Обратимся к понятию неопределенности. Если непосредственная подстановка предельного значения переменной в выражение, стоящее под знаком предела, приводит формально к одному из результатов , то говорят, что имеет место неопределенность одного из указанных видов. Отметим, что выражение и , где С – постоянная, не являются неопределенностями, а приводят, согласно свойствам (3), к б.б, б.м. величинам, соответственно.

Рис.5