4.7. Уравнения Лагранжа и Клеро

Рассмотрим дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно производной. К ним, в частности, относятся уравнения Лагранжа и Клеро.

Уравнение Лагранжа

Уравнение вида

, (4.25)

где , - известные функции от , - называется уравнением Лагранжа.

Введем вспомогательный параметр, положив . Тогда уравнение (4.25) примет вид

. (4.26)

Дифференцируя по х, получим:

, т.е.

или . (4.27)

Уравнение (4.27) есть линейное уравнение относительно неизвестной функции х = х(р). Решив его, найдем:

. (4.28)

Исключая параметр р из уравнений (4.26) и (4.28), получаем общий интеграл уравнения (4.25) в виде .

Отметим, что, переходя к уравнению (4.27), мы делили на . При этом могли быть потеряны решения, для которых , т.е. .

Это значение является корнем уравнения (см. (4.27)).

Решение является особым для уравнения (4.25) (см. понятие особого решения в п. 4.3).

Уравнение Клеро

Рассмотрим частный случай уравнения Лагранжа при . Уравнение (4.25) принимает вид

(4.29)

и называется уравнением Клеро. Положив , получаем:

. (4.30)

Дифференцируя по х, имеем:

, или .

Если , то р = с. Поэтому, с учетом (4.30), ДУ (4.29) имеет общее решение:

. (4.31)

Если , то получаем частное решение уравнения в параметрической форме:

, . (4.32)

Это решение - особое решение уравнения Клеро: оно не содержится в формуле общего решения уравнения.

Пример 4.13. Решить уравнение Клеро .

Решение: Общее решение, согласно формуле (4.31), имеет вид . Особое решение уравнения получаем согласно формулам (4.32) в виде:

, . Отсюда следует: , т.е. .

Литература

1. Евстигнеев Ю.Ф., Матвеева О.П. Основы математического анализа: Учебное пособие. - Спб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2006. – 116с.

2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: в 2 ч.. Ч.1/ Дмитрий Письменный.- 6-е изд. – М.:Айрис-пресс, 2008. 288с.:ил.

3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: в 2 ч.. Ч.2/ Дмитрий Письменный.- 9-е изд. – М.:Айрис-пресс, 2008. 256с.:ил.

4. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник/Под ред. В.И.Ермакова.-М:ИНФРА-М,2000 -656с.

5. Сборник задач по высшей математики для экономистов: Учебное пособие/Под ред. В.И.Ермакова.-М:ИНФРА-М,2002 -575с.

6. Щипачёв В.С. Высшая математика. Учеб. Для вузов. – 4-е изд., стер. М., Высшая школа. 1998. – 479с:ил..

Индивидуальные задания

Студент должен выполнить контрольную работу, содержащую семь задач. Номер варианта контрольной работы соответствует последней цифре номера зачётной книжки. Номера задач каждого варианта приведены в таблице.

Номер варианта	Номера задач
1	1	11	21	31	41	51	61	71
2	2	12	22	32	42	52	62	72
3	3	13	23	33	43	53	63	73
4	4	14	24	34	44	54	64	74
5	5	15	25	35	45	55	65	75
6	6	16	26	36	46	56	66	76
7	7	17	27	37	47	57	67	77
8	8	18	28	38	48	58	68	78
9	9	19	29	39	49	59	69	79
0	10	20	30	40	50	60	70	80