4.5. Линейные уравнения. Уравнение я. Бернулли

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде

, (4.11)

где и - заданные функции, в частности - постоянные.

Особенность ДУ (4.11): искомая функция у и ее производная у' входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.

Рассмотрим два метода интегрирования ДУ (4.11) - метод И. Бернулли и метод Лагранжа.

Метод И. Бернулли

Решение уравнения (4.11) ищется в виде произведения двух других функций, т. е. с помощью подстановки , где и = и(х) и v = v(x) - неизвестные функции от х, причем одна из них произвольна (но не равна нулю). Действительно любую функцию у(х) можно записать как

,

где v(x) . Тогда . Подставляя выражения у и у' в уравнение (4.11), получаем: или

. (4.12)

Подберем функцию v = v(x) так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т. е. решим ДУ . Итак, , т. е. .

Интегрируя, получаем:

.

Ввиду свободы выбора функции v(x), можно принять с = 1. Отсюда

.

Подставляя найденную функцию v в уравнение (4.12), получаем

.

Получено уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

, ,

.

Возвращаясь к переменной у, получаем решение

(4.13)

исходного ДУ (4.11).

Пример 4.8. Проинтегрировать уравнение у' + 2·х·у = 2·х.

Решение: Полагаем . Тогда , т. е.

.

Сначала решаем уравнение :

, , .

Теперь решаем уравнение , т.е.

, , .

Итак, общее решение данного уравнения есть

, т.е. .

Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)

Уравнение (4.11) интегрируется следующим образом.

Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части, т. е. уравнение

. Оно называется линейным однородным ДУ первого порядка. В этом уравнении переменные делятся:

и .

Таким образом, , т.е.

или , где .

Метод вариации произвольной постоянной состоит в том, что постоянную с в полученном решении заменяем функцией с(х), т. е. полагаем с = с(х). Решение уравнения (4.11) ищем в виде

. (4.14)

Находим производную (для удобства записи пользуемся обозначением ):

.

Подставляем значения у и в уравнение (4.11):

.

Второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются, и уравнение примет вид

.

Следовательно,

.

Интегрируя, находим:

.

Подставляя выражение с(х) в равенство (4.14), получим общее решение ДУ (4.11):

.

Естественно, та же формула была получена методом Бернулли (ср. с (4.13)).

Пример 4.9. Решить пример 4.8 методом Лагранжа.

Решение: Решаем уравнение у' + 2ху = 0. Имеем , или .

Заменяем с на с(х), т. е. решение ДУ у' + 2ху=2х ищем в виде . Имеем

.

Тогда

, т.е. ,

или , или . Поэтому ,

или - общее решение данного уравнения.

Замечание. Уравнение вида (x∙P(y) + Q(y))∙y′ = R(y), где Р(у), Q(y), R(y) - заданные функции, можно свести к линейному, если х считать функцией, a y - аргументом: х = х(у). Тогда, пользуясь равенством , получаем

, т.е. - линейное относительно х уравнение.

Его решение ищем в виде х = и·v, где u = u(y), v = v(y) - две неизвестные функции.

Пример 4.10. Найти общее решение уравнения (х + у)·у' = 1.

Решение: Учитывая, что , от исходного уравнения переходим к линейному уравнению

.

Применим подстановку . Тогда . Получаем: , или .

Находим функцию v: , , .

Находим функцию и: , т. е. , или .

Интегрируя по частям, находим: . Значит, общее решение данного уравнения:

, или .

Уравнение Я. Бернулли

Уравнение вида

, , , (4.15)

называется уравнением Бернулли. Покажем, что его можно привести к линейному.

Если , то ДУ (4.15) - линейное ДУ, а при п = 1 - ДУ с разделяющимися переменными.

В общем случае, разделив уравнение (4.15) на , получим:

. (4.16)

Обозначим . Тогда . Отсюда находим .

Уравнение (4.16) принимает вид .

Последнее уравнение является линейным относительно z. Решение его известно. Таким образом, подстановка сводит уравнение (4.15) к линейному. На практике ДУ (4.15) удобнее искать методом И. Бернулли в виде (не сводя его к линейному).