Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа устанавливает связь между макроскопической величиной - давлением, которое может быть измерено, например манометром, и микроскопическими величинами, характеризующими молекулу:

где р - давление, m₀- масса молекулы, п - концентрация (число молекул в единице объема), v²- средний квадрат скорости молекул.

Если через Е обозначить среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы

можно записать:

Давление идеального газа пропорционально концентрации молекул и средней кинетической энергии их поступательного движения.

_5. Модель идеального газа. Соударения молекул со стенками сосуда и между собой. Средняя длина свободного пробега молекул идеального газа.

По II-му закону Ньютона импульс силы, испытываемый стенкой от однократного удара молекулы равен

 ft  = 2mv = K,

 где f – средняя сила взаимодействия за время, равное t – продолжительности однократного удара.

 Если скорость этой конкретной «черной» молекулы v1, то следующее соударение той же молекулы о ту же стенку произойдет через время

   

 Соответственно, сила воздействия одной молекулы на одну стенку, усредненная на временном отрезке t, будет равна

 

 Определим теперь результат воздействия от всех молекул, содержащихся в нашем «ящике».

 Поскольку движение молекул во всех направлениях равновероятно, то естественно предположить, что в направлении каждой из осей движется лишь треть от их общего числа:

 

 Скорости молекул, конечно, различны, поэтому суммарная сила, испытываемая выбранной нами стенкой, равна

 Fy = F1+F2+…+FNy =  (8.1)

 В принципе величины скоростей всех молекул различны, но можно преодолеть эту сложную проблему, заменив сумму квадратов скоростей квадратом средней квадратичной скорости <vкв2>, который представляет собой среднее арифметическое из квадратов скоростей отдельных молекул:

   (8.2)

 Следовательно, после доумножения и деления (8.1) на Ny, и с учетом (8.2) можно записать

   (Учтено, что Ny = 1/3 N).

 Определим теперь давление р, как силу, действующую на единицу площади

  - концентрация молекул,

 а - средняя кинетическая энергия молекул газа.

Итак, можно записать ряд равноправных выражений, описывающих основной закон МКТ:

 (8.3)

Связь <vкв>, <Eк> молекул и давления р с температурой.

Площадь, заключенная между параллельными линиями, приближенно равна произведению двойного диаметра на длину линии v, т.е. . Число частиц, находящихся на этой площади, равна . Это величина равна числу столкновений выделенной молекулы с другими частицами за 1 секунду. Разделив на эту величину путь v, пройденной молекулой за секунду, получим выражение для средней длины свободного пробега:

.

_6. Вероятность, непрерывные случайные величины. Функция плотности вероятности и ее свойства. Использование функции распределения Максвелла для расчета вероятности.

Скорость – векторная величина. Для проекции скорости на ось х (x-й составляющей скорости) из (2.2.1) имеем

тогда

(2.3.1)

где А₁ – постоянная, равная

       Графическое изображение функции показано на рисунке 2.2. Видно, что доля молекул со скоростью не равна нулю. При , (в этом физический смысл постоянной А1).

Рис. 2.2

       Приведённое выражение и график справедливы для распределения молекул газа по x-компонентам скорости. Очевидно, что и по y- и z-компонентам скорости также можно получить:

       Вероятность того, что скорость молекулы одновременно удовлетворяет трём условиям: x-компонента скорости лежит в интервале от υ_х до υ_х+dυ_х; y-компонента, в интервале от υ_y до υ_y+dυ_y; z-компонента, в интервале от υ_z до υ_z+dυ_z будет равна произведению вероятностей каждого из условий (событий) в отдельности:

где , или

(2.3.2)

       Формуле (2.3.2) можно дать геометрическое истолкование: dn_xyz – это число молекул в параллелепипеде со сторонами dυ_x, dυ_y, dυ_z, то есть в объёме dV=dυ_xdυ_ydυ_z(рис. 2.3), находящемся на расстоянии от начала координат в пространстве скоростей.

закон распределения молекул по абсолютным значениям скоростей Максвелла:

(2.3.3)

где – доля всех частиц в шаровом слое объема dV, скорости которых лежат в интервале от υ до υ+dυ.

       При dυ = 1 получаем плотность вероятности, или функцию распределения молекул по скоростям:

(2.3.4)

       Эта функция обозначает долю молекул единичного объёма газа, абсолютные скорости которых заключены в единичном интервале скоростей, включающем данную скорость.

       Обозначим: тогда из (2.3.4) получим:

(2.3.5)

       График этой функции показан на рисунке 2.5.

Рис. 2.5

_7. Функция распределения Максвелла для молекул идеального газа по модулю скорости. Графики функции распределения при различных температурах. Функция распределения Максвелла для безразмерной скорости молекул.

График функции распределения Максвелла

,

приведен на рисунке 2.6.

Рис. 2.6

       Из графика видно, что при «малых» υ, т.е. при , имеем ; затем достигает максимума А и далее экспоненциально спадает .

       Величину скорости, на которую приходится максимум зависимости , называют наиболее вероятной скоростью.

       Найдем эту скорость из условия равенства производной .

,

(2.3.6)

– наиболее вероятная скорость одной молекулы.

       Для одного моля газа:

.

(2.3.7)

       Среднюю квадратичную скорость найдем, используя соотношение :

.

– для одной молекулы;

(2.3.8)

.

– для одного моля газа.

(2.3.9)

       Средняя арифметическая скорость:

.

.

где – число молекул со скоростью от υ до υ+dυ. Если подставить сюда f(υ) и вычислить, то получим:

.

– для одной молекулы;

(2.3.10)

.

– для одного моля газа.

(2.3.11)

       Все три скорости незначительно отличаются друг от друга множителем порядка единицы, причем

На рисунке 2.8 показана зависимость f(υ) при различных температурах и массах молекул газа.

Рис. 2.8

       Из рисунка 2.8 можно проследить за изменением f(υ) при изменении m и T. В данном случае (при T = const ) или (при m = const). Площадь под кривой величина постоянная, равная единице ( ), поэтому важно знать как будет изменяться положение максимума кривой:

кроме того

       Максвелловский закон распределения по скоростям и все вытекающие следствия справедливы только для газа в равновесной системе. Закон статистический, и выполняется тем лучше, чем больше число молекул.

Функции распределения Максвелла по скорости (а) и по энергии (б) в безразмерных единицах

Среднюю скорость молекул можно найти, воспользовавшись формулой (1.9) с учетом (1.13). В результате вычисления интеграла получим

,                      (1.17)

что в безразмерных единицах соответствует . Аналогично можно выразить среднеквадратичную скорость:

,               (1.18)

что в безразмерных единицах соответствует . Для того чтобы найти среднюю энергию, воспользуемся распределением (1.14). В результате получим

.                  (1.19)

_8. Функция распределения Максвелла для молекул идеального газа по модулю скорости. Характеристические скорости молекул идеального газа. Расчет наиболее вероятной скорости молекул.

Характерные скорости молекул идеального газа .

 - наиболее вероятная скорость молекул

Это скорость молекул, при которой функция распределения  имеет максимум. Возьмем производную от , и приравняв ее нулю, получим уравнение для нахождения :

   ,

   ,   ,

   -

 - наиболее вероятная скорость молекул

<vкв> - средняя квадратичная скорость молекул.

Средняя скорость молекулы  (средняя арифметическая скорость)

определяется по формуле:

.

Упомянутые выше скорости: наиболее вероятная , средняя квадратичная  и средняя арифметическая  характеризующие состояние газа и называются в связи с этим характеристическими.