8.7. Опукле програмування
Опукле програмування розглядає методи розв’язування задач нелінійного програмування, математичні моделі яких містять опуклі або угнуті функції.
Загальний вигляд задачі опуклого програмування такий:
, (8.31)
,
; (8.32)
, (8.33)
де
,
— угнуті функції.
Аналогічний вигляд має задача для опуклих функцій.
Позначимо:
,
тоді
,
і маємо:
, (8.34)
; (8.35)
, (8.36)
де
,
— опуклі функції.
Оскільки ці задачі еквівалентні, то нижче розглянемо задачу (8.31)—(8.33).
Множина допустимих планів задачі, що визначається системою (8.32), є опуклою.
Як наслідок теорем 8.2 та 8.3 справджується таке твердження: точка локального максимуму (мінімуму) задачі опуклого програмування (8.31)—(8.33) є одночасно її глобальним максимумом (мінімумом).
Отже, якщо визначено точку локального екстремуму задачі опуклого програмування, то це означає, що знайдено точку глобального максимуму (мінімуму).
У разі обмежень-нерівностей задачу опуклого програмування розв’язують, застосовуючи метод множників Лагранжа.
Функція Лагранжа для задачі (8.31)—(8.33) має вид:
(8.37)
де
— множники Лагранжа.
Використовуючи теорему Куна — Таккера, маємо необхідні та достатні умови існування оптимального плану задачі опуклого програмування.
Теорема 8.4. Якщо задано
задачу нелінійного програмування виду
(8.31)—(8.33), де функції
диференційовні і вгнуті по Х,
то для того, щоб вектор
був розв’язком цієї задачі, необхідно
і достатньо, щоб існував такий вектор
,
що пара (
,
)
була б сідловою точкою функції Лагранжа,
тобто щоб виконувалися умови:
(І)
,
; (8.38)
(ІІ) 
,
; (8.39)
(ІІІ)
,
; (8.40)
(IV) 
,
. (8.41)
Для задачі мінімізації (8.34)—(8.36), де всі функції диференційовні і опуклі по Х, маємо умови, аналогічні вищенаведеним, але зі знаком «≥» в нерівностях (8.39) та (8.41).
Сформульована теорема доводиться з допомогою використання вищенаведених теорем цього та попередніх параграфів.
8.8. Квадратичне програмування
Окремою частиною задач опуклого програмування є задачі квадратичного програмування. До них належать задачі, які мають лінійні обмеження, а функціонал являє собою суму лінійної і квадратичної функцій:
