8.5. Необхідні умови існування сідлової точки

Для розроблення методів розв’язування окремих типів задач нелінійного програмування важливе значення має поняття сідлової точки, а також визначення необхідних і достатніх умов існування сідлових точок функції Лагранжа у (n + m)-вимірному просторі змінних за довільних умов, які можуть накладатися на їх знаки (необхідні і достатні умови існування сідлової точки функції Лагранжа за відсутності обмежень на знаки змінних розгляну- то в § 8.4).

Розглянемо нелінійну задачу:

,

.

Причому на компоненти векторів накладено обмеження на знаки. Позначимо множину точок, що задовольняють такі обмеження, через .

Функція Лагранжа для цієї задачі має вигляд:

= . (8.12)

Точка називається сідловою точкою функції Лагранжа (8.12), якщо для всіх виконується співвідношення:

. (8.13)

Для диференційовних функцій та знайдемо необхідні умови існування сідлової точки.

Сідлова точка функції виду (8.12) за означенням задовольняє умову:

.

Нерівність виконується для всіх точок Х, тобто також і для тих, у яких лише одна координата відрізняється від Х^*. Допустимо, що це х_k, а всі інші збігаються з координатами сідлової точки .

О

Рис. 8.5

скільки права частина нерівності є фіксованою, а в лівій частині змінюється лише одна координата х_k, то приходимо до функ­ції однієї змінної , яку можна зобразити графічно на координатній площині.

Розглянемо спочатку випадок, коли , тобто лише частину координатної площини, для якої .

Можливі такі випадки:

1) коли всі , то максимальне значення функції L(x_k) досягатиметься в точці, для якої (рис. 8.5).

2

Рис. 8.6

Рис. 8.7

Рис. 8.8

) коли максимум функції L(x_k) досягатиметься в точці і розглядувана частинна похідна також дорівнюватиме нулю: (рис. 8.6).

3) коли точка максимуму функції L(x_k) досягатиметься також у точці , а частинна похідна (рис. 8.7).

Узагальнюючи всі три ситуації, маємо:

для

та .

Розглядаючи другу частину нерівності (8.13):

аналогічними міркуваннями, що проілюстровані рис. 8.8.—8.10, встановлюються необхідні умови для похідних по функції Лагранжа в сідловій точці.

Рис. 8.9 Рис. 8.10

Об’єднуючи всі три випадки для невід’ємних координат, маємо необхідні умови сідлової точки:

для тих індексів j, де . (8.14)

Зауважимо, що для маємо ті самі випадки, які зображено на рис. 8.1—8.6, причому графіки будуть симетрично відоб­ражені відносно осі Оy, тобто для недодатних координат необхідна умова має вигляд:

для тих індексів j, де . (8.15)

І нарешті, як відомо з попереднього параграфа, якщо на знак х_j умови не накладаються, то необхідною умовою є:

, — довільного знака. (8.16)

Узагальнення всіх випадків приводить до рівняння:

. (8.17)

Розглядаючи другу частину нерівності (8.13), за допомогою аналогічних міркувань встановлюємо необхідні умови для похідних по функції Лагранжа в сідловій точці:

для тих індексів і, де , (8.18)

для тих індексів і, де , (8.19)

для тих індексів і, де має довільний знак. (8.20)

Отже, справджується рівняння:

. (8.21)

Сукупність співвідношень (8.14)—(8.21) становить необхідні умови, які має задовольняти сідлова точка функції Лагранжа для точок, що належать множині . При цьому повинна мати частинні похідні по всіх компонентах векторів .