Тема 3 задача лінійного програмування та методи її розв'язування

Класифікація задач математичного програмування.  Багатокритеріальна оптимізація.

Приклади економічних задач математичного програмування. Основні властивості розв'язків задачі лінійного програмування. Розв'язування задач графічним методом. Алгоритм розв'язування задачі лінійного програмування.

Загальна задача лінійного програмування та методи її розв`язування.

В загальному вигляді математична модель задачі лінійного програмування (ЗЛП) подається у вигляді:

Знайти максимум (мінімум) цільової функції

(3.1)

за умов

(3.2)

(3.3)

Потрібно знайти значення змінних , які задовольняють умовам (2) і (3), тоді як цільова функція набуває екстремального значення.

Форми запису ЗЛП

Задачу (1) – (3) зручно записати у вигляді:

_(3.4)

За умов

(i=1,…m), X_j (j=1,2,…,n) (3.5)

Або у векторно-матричному вигляді

(3.6)

За умов , де А- матриця коефіцієнтів при змінних; Х – вектор змінних; В – вектор вільних членів.

Геометрична інтерпретація ЗЛП

Рішення задачі здійснемо за таким алгоритмом.

1. Будуємо прямі лінії, рівняння яких дістаємо заміною в обмеженнях задачі (5) знаків нерівностей на знаки рівностей.

2. Визначаємо півплощини, що відповідають кожному обмеженню задачі.

3. Знаходимо многокутник розв`язків задачі ЛП.

4. Будуємо вектор , що задає напрям зростання значень цільової функції

5. Будуємо пряму , перпендикулярну до вектора

6. Переміщуючи пряму в напрямі вектора (для задач максимізації) або в протилежному напрямі (для задач мінімізації), знаходимо вершину многокутника розв`язків, де цільова цільова функція досягає екстремального значення.

7. Визначаємо координати точки, в якій цільова функція досягає екстремального значення.

Розглянемо рішення ЗЛП графічним методом на такому прикладі:

Нехай фермер прийняв рішення вирощувати озиму пшеницю і цукрові буряки на площі 20 га, відвівши під цукрові буряки не менше як 5 га. Техніко-економічні показники вирощування цих культур маємо у табл. 2:

Таблиця 2 Показники вирощування сільськогосподарських культур

Показник (із розрахунку на 1 га)	Озима пшениця	Цукрові буряки	Наявний ресурс
Затрати праці, людино-днів	5	25	270
Затрати праці механізаторів, людино-днів	2	8	80
Урожайність, тонн	3,5	40	—
Прибуток, тис. грн.	0,7	1	—

Критерієм оптимальності є максимізація прибутку.

Запишемо економіко-математичну модель структури виробництва озимої пшениці та цукрових буряків, ввівши такі позначення:

x₁ — шукана площа посіву озимої пшениці, га;

x₂— шукана площа посіву цукрових буряків, га.

Задача лінійного програмування має такий вигляд:

(3.7)

за умов:

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

(3.12)

Геометричну інтерпретацію задачі зображено на рис. 1

Рис. 1 Область допустимих розв'язків задачі

Область допустимих розв'язків цієї задачі дістаємо так. Кожне обмеження, наприклад задає півплощину з граничною прямою . Будуємо її і визначаємо півплощину, яка описується нерівністю .З цією метою в нерівність підставляємо координати характерної точки, скажімо, і . Переконуємося, що ця точка належить півплощині . Цей факт на рис. 2.2 ілюструємо відповідною напрямленою стрілкою. Аналогічно будуємо півплощини, які відповідають нерівностям (39)—(43). У результаті перетину цих півплощин утворюється область допустимих розв'язків задачі (на рис. 2.2 — чотирикутник ABCD). Цільова функція Z = 0,7x₁+х₂ являє собою сім'ю паралельних прямих, кожна з яких відповідає певному значенню Z. Зокрема, якщо Z=0, то маємо Z = 0,7x₁+х₂=0. Ця пряма проходить через початок системи координат. Коли Z= 3,5, то маємо пряму 0,7x₁+х₂=3,5.

Завдання для самостійної роботи

Графічним методом визначити оптимальні плани задач лінійного програмування

Задача 1 Задача 2

Задача 3 Задача 4

Задача 5 Задача 6

Задача 7 Задача 8

Задача 9 Задача 10

Задача 11 Задача 12

Задача 13 Задача 14

Задача 15 Задача 16

Задача 17 Задача18

Задача 19 Задача 20

Задача 21 Задача 22

Задача 23 Задача 24

Задача 25 Задача 26

Задача 27 Задача 28

Задача 29 Задача30

Навчальні завдання розв`язування задач ЛП в середовищі електронних таблиць Excel

Підготовку вхідної інформації та розв`язання задачі в середовищі електронних таблиць можна поділити на шість основних етапів.

1. Задання таблиці вхідної інформації.

2. Задання діапазону комірок для незалежних змінних.

3. Задання комірок і формул для обмежень.

4. Задання комірки і формули для цільової функції.

5. Робота в діалоговому вікні "Поиск решения".

6. Аналіз розв`язку задачі.

Розв'язок задач лінійного програмування. Задача складання сумішей (раціону) та її розв`язок з використанням табличного процесору Excel.

Задача:

Їдальня готує дієтичний салат, використовуючи для цього варений буряк, моркву і квашену капусту. Салат повинен містити не менш 710 одиниць речовини А, не менш 73 одиниці речовини В, не менш 3550 одиниць речовини С. Дані про вміст цих речовин в продуктах наведені в таблиці. Визначити складові частини салату при загальній мінімальній вартості

Харчові речовини	Вміст речовин (г) у 1 кг овочів			Норми споживання речовин (т)
	буряк	морква	капуста
А	3	2	4	710
В	0,3	0,4	0,2	73
С	20	15	10	3550
Вартість овочів (грн)	0,4	0,5	0,4

Порядок виконання роботи:

1. Створити новий документ Excel.

2. Завантажити табличний процесор Excel і скопіювати до комірок ЕТ таблицю із вихідними даними.

3. Під таблицею увести до відповідних комірок наступну інформацію:

4. До комірки А11 занести формулу цільової функції із використанням вбудованої функції Excel СУММПРОИЗВ().

Інструкції:

а) необхідно клацнути у комірці А11 і вибрати пункт меню Вставка\Функция та у вікні майстра функцій вибрати категорію функцій Математические та функцію СУММПРОИЗВ:

б) далі у діалоговому вікні функції СУММПРОИЗВ () у рядку Массив 1 увести адресу блоку комірок із значеннями змінних (B9: D9) і натиснути клавішу Enter потім у рядку Массив2 виділити блок комірок із значенням вартості овочів(B6: D6) після цього у комірці А11 з'явиться результат попереднього розрахунку – 0

в) потім у комірку А12 уводиться назва Обмеження, а у комірку В12 текст Значення г) далі у комірки - А13: А15 уводяться формули обмеженнь (з використанням функції СУММПРОИЗВ(), а у комірки В13: В15 - їх значення.

5. Викликати програму Поиск решения і розв'язати задачу.