§ 4.4. Ери эярэинлик функсийасы
Даь механикасынын мцстяви мясяляляриндя кцтля гцввяляри нязяря алынмадыгда гейри биръинс таразлыг тянликляри, биръинс тянликляря чеврилирляр вя мясялянин щялли хейли садяляшир. Йа кцтля гцввяляри диэяр эярэинликляря нязярян чох кичик олур, йа да кцтля гцввяляринин мювъуд олдуьу щалда бир хцсуси щялл мялум олдугда гейри-биръинс мясялянин щяллини биръинс мясялянин щяллиня эятирмяк мцмкцн олдуьундан кцтля гцввялярини нязяря алмамаг олур.
Кцтля гцввяляри нязяря алынмадыгда таразлыг тянликляри ашаьыдакы шякиля дцшцр.
(4.24)
(4.24)-цн биринъи тянлийи эюстярир ки,
(4.25)
шярти юдянярся (4.24)-ин биринъи тянлийи юдяняр.
Бурада щяр щансы функсийадыр. Доьрудан да (4.25)-и
(4.26)
шяклиндя эюстярсяк (4.26)-дан
(4.27)
алынар. (4.27)-дян
(4.28)
(4.28)-и (4.24)-цн биринъи тянлийиндя нязяря алсаг
алынар. Бу ися о демякдир ки, (4.25) юдянярся (4.24)-цн биринъи тянлийи юдяняр.
Ейни гайда иля эюстярмяк олар ки,
(4.29)
Бурада -щяр щансы функсийадыр.
(4.27) вя (4.29)-дан эюрцндцйц кими
(4.30)
(4.30)-дан эюрцндцйц кими
(4.31)
Шярти юдянярся (4.30) тянлийи юдянир. Доьрудан да (4.31)-и
(4.32)
шяклиндя эюстярсяк
(4.33)
олар. (4.33)-дян
(4.34)
олар. (4.33), (4.27) вя (4.29)-да нязяря алсаг
(4.35)
аларыг.
Бу дцстурлар биринъи дяфя Ери тяряфиндян алынмышдыр, она эюря дя функсийасы Ери эярэинлик функсийасы адланыр.
Айдындыр ки, (4.35) бярабярликлярини (4.24)-дя нязяря алсаг (4.24) бярабярликляри ейнилик кими юдянирляр. Бундан башга мялумдур ки, нин щягиги эярэинлик вязиййятиня уйьун эялмяси цчцн
(4.36)
шярти юдянилмялидир.
(4.35)-дян
Буну (4.36)-да нязяря алсаг
(4.37)
аларыг.
Бурада
Индян сонра щесаб едяъяйик ки, эярэинлик функсийасы дюрдцнъц тяртибя гядяр бцтцн кясилмяз тюрямяляря маликдир.
Беляликля Ери эярэинлик функсийасы бищармоник функсийа олмалыдыр.
§ 4.5. Мцстяви мясялянин полйар координатларда цмуми тянликляри
Индийя гядяр биз мцстяви мясялялярин цмуми тянликлярини декорт координатларда алмагла мяшьул олдуг. Лакин бир сыра щалларда мцстяви мясялянин полйар координатларда йазылмыш цмуми тянликляриндян истифадя етмяк ялверишли олур. Нефт вя газ гуйулары лцляси даиряви олдуьундан нефт сянайеси иля баьлы яксяр даь механикасы мясялялярини полйар координатларда щялл етмяк даща ялверишли олур. Яввялъя таразлыг тянликлярини полйар координатларда алаг.
Ъисимдян мяркязи буъаьы вя ян кичик радиусу олан елементи айыраг (шякил 9). Онун тяряфляри
(4.38)
Мяркязи нюгтясиндя олан дцзбуъаглы координат системи эютцряк. Елементин цзяриндя тясир едян эярэинликляр шякил 9-да эюстярилмишдир. елементиня тясир едян гцввяляри вя охларына пройексийаламагла таразлыг тянликлярини тяртиб едяк. Бу вахт щяъми гцввяляри нязяря алмайаг. Елементин оху бойу галынлыьыны ващид гябул едяк ( оху о нюгтясиндян кечмякля шякил мцстявисиня перпендикулйар йюнялмишдир). Гцввяляри охлар цзяриня пройексийаларкян буъаьынын кичиклийини нязяря алараг
(4.39)
гябул едяъяйик. Шякил 9-да эюстярилян эярэинликляри уйьун сятщлярин сащяляриня вурсаг (елементин галынлыьы ващидя бярабяр олдуьундан йан сятщлярин сащяляри ядяди гиймятъя уйьун тиллярин узунлуьуна бярабяр олаъаглар) ашаьыдакы гцввяляр алынар.
а) Радиал истигамятдя. 1. Дахили сятщдя- ; 2. Хариъи сятщдя ; 3. Сол йан сятщдя (2 охуна нязярян)- . 4. Саь йан сятщдя .
б) Танэенсиал истигамятдя. 1. Дахили сятщдя 2.Хариъи сятщдя 3. Сол йан сятщдя . 4. Саь йан сятщдя .
Гейд едяк ки, оху охуна перпендикулйар йюнялмишдир. Сол вя саь йан сятщлярдяки танэенсиал истигамятдяки гцввялярин истигамяти оху иля цст-цстя дцшмяйиб онунла , радиал истигамятдяки гцввяляр ися оху иля буъаьы ямяля эятирирляр. Йан сятщлярдяки гцввяляри вя охуна пройексийалайаркян бу факты нязяря алмаг лазымдыр. Яввялъя бцтцн гцввяляри охуна пройексийаласаг
(4.40)
Инди бцтцн гцввяляри охуна пройексийаласаг
(4.41)
(4.39) бярабярликлярини (4.40) вя (4.41)-дя нязяря алсаг цчцнъц тяртибдян кичик олан щядляри нязярдян атыб щяр тяряфи йя бюлсяк аларыг:
(4.42)
Мялумдур ки, декарт координат системиндя
(4.43)
мцнасибяти юдянир.
Диэяр тяряфдян
(4.44)
ифадяси эярэинлик компонентляринин биринъи инвариантыдыр вя координат охларынын дяйишмясиндян асылы дейил.
Мцстяви деформасийа вязиййятиндя оху истигамятиндяки йердяйишмя вя
(4.45)
Цмумиляшмиш эярэинлик вязиййятиндя ися вя
(4.46)
(4.49), (4.45) вя (4.46)-дан эюрцндцйц кими щям мцстяви деформасийа, щям дя мцстяви эярэинлик вязиййятиндя ифадяси инвариант кямиййятдир, бу ися о демякдир ки, истянилян мцстяви мясяля цчцн
вя (4.47)
Диэяр тяряфдян эярэинлик компонентляри эярэинлик функсийасындан ашаьыдакы кими асылыдыр
(4.48)
эярэинликляри иля функсийасы арасында ялагя тапмаг цчцн ифадялярини полйар координатларда йазаг.
Мялумдур ки, декард координатлардан полйар координатлара кечид [14].
шяклиндядир. Онда
(4.49)
(4.49) системини вя -я нязярян щялл едяк. Онда
(4.50)
Бурада
(4.51)
(4.52)
(4.53)
(4.51), (4.52) вя (4.53)-ны (4.50)-дя нязяря алсаг
(4.54)
Бурадан
(4.55)
Аналожи гайда иля
(4.56)
(4.55) вя (4.56)-дан
;
Беляликля полйар координат системиндя
(4.57)
Эярэинликляр
(4.58)
шяклиндя сечилярся (4.42) тянликляри ейниликля юдянир. (4.58)-и (4.47)-дя нязяря алсаг
(4.59)
(
Шякил
10
Инди ися щяндяси мцнасибятляри, йяни деформасиаларла йердяйишмяляр арасындакы ялагяляри полйар координатларда алаг (шякил 10).
Нюгтялярин оху бойу йердяйишмясини оху бойу йердяйишмясини ися иля ишаря едяк, оху бойу нисби йердяйишмяни оху бойу дцз буъаьынын нисби дяйишмясини иля ишаря едяк. Шякил 10-дан эюрцндцйц кими нисби узанмасы ики топланандан ибарят олур.
Биринъиси, нюгтяляр радиал истигамятдя йердяйишмяси аларса танэенсиал истигамятдяки гювсцнцн узунлуьу олар. Онда радиал йердяйишмянин щесабына йаранан танэенсиал истигамятдя нисби йердяйишмя
Икинъиси оху бойу йердяйишмясинин щесабына йаранан танэенсиал нисби деформасийа
шяклиндя олар. Беляликля
Инди буъаг деформасийасына бахаг:
шякил 11-дян эюрцндцйц кими
Шякил
11
Бу ифадяляри (4.23)-дя нязяря алсаг
Беляликля щяндяси мцнасибятляр цчцн полйар координат системиндя аларыг.
(4.61)
Щук гануну анъаг индекслярини дяйишмякля яввялки эюркямини сахлайыр:
(4.62)
Мцстяви деформасийада вя нц уйьун олараг иля явяз етмяк лазымдыр.