4. Структурные преобразования

4.1. Замена цепи из последовательно параллельно соединенных звеньев

Все реальные системы автоматического регулирования являются замкнутыми и сложными, но при анализе часто приходится рассматривать “фрагменты” (а иногда и целиком) САР и выполнять над ними некоторые операции, например, упрощающие изображение структуры САР.

Определение. Действия, упрощающие математическое или графическое изображение САР или упрощающие последующий анализ динамических свойств САР, называются структурными преобразованиями.

Различают несколько типовых упрощающих действий:

• замена цепи из последовательно соединенных звеньев эквивалентным звеном;

• замена цепи из параллельно соединенных звеньев эквивалентным звеном;

• замена цепи с местной обратной связью эквивалентным звеном;

• замена цепи с местной обратной связью на единичною обратную связь;

• перенос точек включения обратной связи “вперед”- “назад”;

• перенос точек суммирования или ветвления “вперед”- “назад”.

Рассмотрим поочередно вышеперечисленные структурные преобразования.

4.1.1. Замена цепи последовательно соединенных звеньев эквивалентным звеном

Цепь преобразований: Получить эквивалентную передаточную функцию Wэкв(S)

=>W_экв (s) = Y(s)/X(s) ≡ X_n(s)/X(s) => запишем ряд очевидных равенств:

перемножим, соответственно, правые и левые части этих равенств =>

W_1*W_{2 *}……_* W_n= X₁/X _* X₂/X₁…… X_n-1/X_{n-2 *} X_n/X_n-1 =>

X_n(s)/X(s) = Wэкв(s) = W₁(s)_*W₂ (s)_*……_* W_n(s)

— Эквивалентная передаточная функция. (4.1)

Найдем эквивалентную АФЧХ => s = i_*ω =>

(4.2)

учитывая, что W_j = A_j(ω) e^iφj(ω) =>

(4.3)

Эквивалентная логарифмическая амплитудная характеристика =>

(4.4)

Если каждое из звеньев имеет передаточную функцию в виде W_j(s)=K_*N(s)/L(s), где N(s), L(s) имеют свободные члены = 1,0 =>

(4.5)

2. Замена цепи из параллельно соединенных звеньев эквивалентным звеном

Складывая, получаем

X₁(s)+X₂(s)+…+ X_n(s)= X(s)[W₁(s)+W₂(s)+…+ W_n(s)]

└─────────────┘ └──────────────┘

↓ ↓

Y(s) Wэкв(s)

=> (4.6)

Подставляя вместо “s” значение “i_*ω” =>

(4.7)

(4. 8)

Aэкв(ω) не выражается простым сложением =>

(4. 9)

Аналогично для фазового сдвига =>

φ_экв(ω)=-π_*m+arct(Vэкв (ω)/ Uэкв (ω)) , (4. 10)

где значение m:

m=1,3,5…, если в 2…3 квадрантах

m=0,2,4…, если в 1 или 4 квадрантах

Логарифмическая амплитудная характеристика:

(4. 11)

Наиболее простые соотношения имеют место для переходной и весовой эквивалентных функций

h_экв(t)= ; w_экв(t)= (4. 12)

Последовательное и параллельное соединение звеньев в значительной степени похожи на аналогичные соединения в электротехнике, гидравлики, и т.д.

Пример на использование структурных преобразований

Задание: Построить (качественно) ЛАХ следующей цепи из последовательно соединенных звеньев:

x(t) y(t)

→ τ₁s/(T_1*s+1) → K₂/(T_2*s+1) → K₃/(T_3*s+1) →

T₁=10^-2c K₂=1 K₃=10²

τ₁=1c T₂=1c T₃=10²c

НУЖНО ВСТАВИТЬ РИСУНОК !!!!