3.4. Апериодическое звено 2−го порядка
Уравнение динамики апериодического звена 2−го порядка имеет следующий вид:
(3.4.1)
(3.4.2)
Если D < 0, то звено становится колебательным (см. 3.5)
Учитывая,
что: y(t)
Y(s); x(t)
X(s); и т.д.
=> уравнение динамики звена в изображениях
=>
(3.4.3)
Передаточная функция звена может быть представлена в двух видах:
(3.4.4)
где T3=
−
;
T4=
;
Амплитудно − фазовая частотная характеристика (АФЧХ) =>
(3.4.5)
Домножив
формулу (3.4.5) на комплексно − сопряженные
скобки (
)
и
,
получаем =>
(3.4.6)
Модуль АФЧХ (амплитуда) = mod W(i·ω) = | W(i·ω)| =>
=>
(3.4.7)
Подставляя в формулы (3.4.6) или в формулу (3.4.5) различные значения ω можно построить вектора, соответствующие различным значениям ω:
Очевидно, что 1) ω6 > ω5 > ω4 > ω3 > ω2 > ω1 > 0
2) 0 > φ1 > φ2 > φ3 > φ4 > φ5 > φ6
Нетрудно показать,
что
Из данного рисунка видно, что φ(ω) є [0; –π[, а точнее φ(ω) є [ -π; 0].
Используя формулу
для фазового сдвига:
следует заметить, что для ω
є {ω1, ω2,
ω3, ω4}
в формуле j = 0, а для ω =
ω5; ω = ω6 =>
j = +1.
Более удобная формула получается, если использовать “последовательное соединение” 2-х звеньев => известно, что при последовательном соединении звеньев общий сдвиг фазы равен сумме фазовых сдвигов:
(3.4.8)
Логарифмическая
амплитудная характеристика (ЛАХ) = Lm(ω)
=> Lm(ω) =
20 lg A(ω)
=>
(3.4.9)
Графики А(ω), φ (ω), Lm(ω) имеют вид:
В
инженерных расчетах часто график Lm(ω)
представляют виде отрезков ломаных,
тогда при
− звено близко к идеальному усилительному
звену => W(s)
≈ K
при
−
звено близко к идеальному интегрирующему
звену W(s)
≈ K/Ts
при
− звено близко к дважды интегрирующему
звену (W(s)
≈ K/T2s2)
В граничном случае (D=0 или T1=2·T2) => T3 = T4 и отмеченные на графике Lm(ω) => см. рис. выше => точки «излома» совпадают =>
Если D < 0 ( T1 = 2·T2) => звено “переходит” в разряд колебательных звеньев. Поэтому постоянная Т1 в уравнении динамики (3.4.1) играет роль демпфирующего фактора => увеличение Т1 (в колебательном звене) приводит к уменьшению или к полному исчезновению колебаний.
Найдем переходную функцию звена h(t) − реакцию на воздействие 1(t):
=>
по формуле Хэвисайда =>
(3.4.10)
Дифференцируя формулу (3.4.10), т.к. w(t) = h’(t) =>
(3.4.11)
Примерами апериодического звена 2-го порядка являются:
1) двигатель постоянного тока при учете инерционности самого якоря (механической) и цепи якоря (электрической);
2) электрический усилитель с учетом инерционности (механической и электрической) ротора;
3) двойные R − C или R − L цепочки
Если звено представлено в переменных состояния =>
x’=Ax
+ Bu; A=
=>
=>
звено будет апериодическим 2-го порядка, если:
.