2.12.3. Обратная задача

Цель: Имея описание системы в переменных состояния, перейти к описанию в переменных «вход-выход».

x₁

x₂

u y

x_n

u_m(t) y_p(t)

W_p,m(s)

- одно конкретное управляющее воздействие и соответствующая регулируемая величина.

Существует несколько алгоритмов, которые позволяют рассчитать передаточную функцию:

1. Алгоритм Фадеевой

2. - алгоритм

3. - алгоритм (крайне редко пользующийся).

,

индексы «3» - для 3-ей управляемой величины; «2» - по 2-му управляющему воздействию.

- одна и та же функция, меняющая только числитель.

Пример: Имеем:

Введем переменные: ;

u(t) W_1,1(s) y(t) x₁(t)

x₁ y₁(t)

u(t)

x₂ y₂(t)

,

По определению , ,

Т.к. 

Используя преобразования Лапласа, получим:

Подставим соотношения в систему уравнений 

Система 2-х линейной алгебраический уравнений:

.

Система :

; - правило Крамера

Вспомогательные определители системы:

Более предпочтительно использование в знаменателе собственных чисел (см. далее).

2.13. Математическая модель кинетики нейтронов в «точечном» реакторе «нулевой» мощности. Вывод передаточной функции, переходной и весовой функций.

Дадим краткое пояснение ряда терминов, используемых в заглавии данного подраздела:

1. «Точечный»  означает, что хотя реактор и представляет собой пространственный объект, тем не менее кинетика (изменение во времени) нейтронов может быть условно описана «материальной точкой», имеющей такие же свойства (в динамическом плане), что и реальный реактор  т.е. пространственные размеры (диаметр, высота) не учитываются.

Такое допущение вполне корректно для большинства реакторов: реакторы малой энергетики, лодочные (транспортные) реакторы и с некоторым допущением и большие реакторы (ВВЭР, PWR, BWR, HTGR и т.д.).

2. «Нулевой»  означает, что либо мощность (энерговыделение) реактора незначительна и поэтому ее изменение не влияет на нейтронно-физические характеристики, либо хотя мощность и немала, но внутренние обратные связи (обусловленные различными эффектами реактивности, например, мощностным, температурным, плотностным и т.д. эффектами) не учитываются.

3. «Кинетика»  практически тождественно слову «динамика», но в теории управления ядерными реакторами принято называть нестационарные режимы в балансе нейтронов в реакторе без обратных связей термином кинетика. Если учитываются обратные связи (внутренние и внешние), то тогда используется термин динамика ядерного реактора.

Прежде чем выводить уравнения кинетики нейтронов сделаем еще ряд допущений (к вышеописанным 1 и 2 допущениям):

 будем считать, что на кинетику влияют в основном тепловые нейтроны  т.е. одногрупповое приближение;

 будем считать, что запаздывающие нейтроны могут быть описаны 1-ой эффективной группой, хотя обычно запаздывающие нейтроны подразделяются на 6 групп со своими постоянными распада ядер-предшественников запаздывающих нейтронов.

осколок

запаздывающий нейтрон

₀ n ¹ ядро

мгновенные 2 3 нейтрона

U ²³⁵

Осколок – запаздывающий ₀ n ¹

Из курса «ФЯР» известно, что доля мгновенных нейтронов, рождаемых от деления ядра, составляет  99%, т.е. доля запаздывающих нейтронов составляет  0.250.7% от общего числа рожденных нейтронов.

Запаздывающие нейтроны вылетают из осколков через относительно большое время после деления ядра: обычно от сотых долей секунды до сотен секунд, в то время как мгновенные нейтроны через  1 мсек ( или еще быстрее, например, через 10100 мксек).

Из курса «ФЯР» известно следующее нестандартное уравнение баланса нейтронов в реакторе в одногрупповом (по энергии нейтронов) приближении:

(2.13.1)

где П_мгн = - порождение мгновенных нейтронов первичными нейтронами;

- порождение запаздывающих нейтронов за счет распада ядер-предшественников з.н;

- поглощение нейтронов;

- утечка нейтронов из реактора за счет диффузии, гдеD – коэффициент диффузии, - геометрический фактор (параметр).

- внешний источник нейтронов;

- порождение ядер – предшественников запаздывающих нейтронов;

- распад ядер – предшественников запаздывающих нейтронов.;

- плотность нейтронов, или ;

- поток нейтронов, или ;

v(t) – средняя скорость нейтрона в реакторе (в одногрупповом приближении).

C(t) – концентрация ядер-предшественников запаздывающих нейтронов, или .

После подстановки составляющих в систему (2.13.1) 

(2.13.2)

Необходимо подчеркнуть, что если К_эфф = 1, то доли:

- доля мгновенных нейтронов во втором поколении;

- доля запаздывающих нейтронов во втором поколении;

Опуская подробные выкладки, но тем не менее вводя новые обозначения:

- эффективный коэффициент размножения;

- реактивность (  1);

- время жизни мгновенных нейтронов без учета утечки из реактора;

- время жизни мгновенных нейтронов с учетом утечки (  ;

- квадрат длины диффузии нейтрона;

Примем для простоты, что внешнего источника нет  . Преобразим 1-е уравнение системы (2.13.2) 

 окончательно:

(2.13.3)

Выполняя аналогичные преобразования для 2-го уравнения системы (2.13.2), имеем:

• окончательно:

(2.13.4)

Объединяя уравнения (2.13.3) и (2.13.4) в систему, получаем систему уравнений кинетики нейтронов:

(2.13.5)

или

(2.13.6)

Учитывая, что  1, то вместо «точной» системы (2.13.6) удобнее использовать «приближенную» систему (2.13.5).

Систему уравнений (2.13.5) - систему 2-го порядка – можно представить структурно так:

(t) n(t)

реактор 

c(t)

Причем 2-е уравнение (2.13.5) – линейное, а 1-е – нелинейное, т.к. есть член  .

Найдем условия статики критичного реактора (стационарного состояния):

Если или К_эфф(0) = 1 !!! 

 ,

где n₀ – равновесная плотность нейтронов; с₀ – равновесная концентрация ядер-предшественников запаздывающих нейтронов 

 (2.13.7)

Дальнейшие преобразования выполним со следующей целью:

1. Перейдем к безразмерным переменным;

2. Линеаризуем 1-е уравнение системы (2.13.5);

3. Получить передаточную функцию, описывающую кинетику нейтронов в переменных «вход-выход».

4. Получить систему уравнений в форме Коши.

• Введем новые безразмерные переменные:

Учитывая, что и в стационаре ,то переменную нет смысла обезразмеривать, т.к. она и так безразмерна.

Подставляя новые переменные и в 1-е уравнение системы (2.13.5), получаем:

(12.13.8)

• это система уравнений в форме Коши, т.е. в переменных состояния.

Таким образом получена линеаризованная система уравнений для безразмерных переменных и , описывающих кинетику нейтронов в реакторе.

Приведем описание кинетики нейтронов к стандартному виду в переменных «вход-выход» 

(t)

Реактор  это можно сделать 2-мя

способами

1-ый способ:

Дифференцируя 1-е уравнение системы (2.13.8) 

Перенося слагаемые, содержащие или производные 



(2.13.9)

 используя преобразования Лапласа 



Уравнение кинетики в изображениях:



(2.13.10)

• передаточная функция «точечного» реактора с «нулевой» мощностью.

2-ой способ:

Используя систему (2.13.8) 

,т.к. 



 



, т. к 

 

 данное выражение совпало с выражением (2.13.10)

Хотя традиционной переходной характеристикой любого (почти любого) звена, объекта САР и т.д. является переходная функция h(t) (реакция на 1(t)), в данном случае такое воздействие по реактивности недопустимо, т.к. величина (зависит от вида ядерного топлива и типа реактора), и поэтому величина воздействия по реактивности больше, чем делает реактор критическим (точнее надкритическим) на мгновенных нейтронах, что недопустимо из соображений ядерной безопасности, т.к. таким реактором управлять практически невозможно.  Это особенно наглядно видно из системы уравнений (линеаризации) 



Если сумма 1-го и 3-го слагаемых отрицательна, то «разгон» реактора идет за счет 2-го слагаемого  для которого характерные времена определяются из 2-го уравнения системы  характерное время  1/  10 сек.

Если , то разгон будет определяться, в основном, 3-им слагаемым в 1-ом уравнении  характерная постоянная времени , т. е. порядка 10^-3 сек (и меньше), а это в технике практически мгновенно, т.е. «взрыв»!!!

Поэтому рассмотрим реакцию на ступенчатое воздействие:

где 

n(t)

N_*(s) 

 примем, что , где - реакция на мгновенный«скачок»реактивности.

(2.13.11)

Нахождение оригинала выполним новым способом,  разложением изображения на элементарные дроби 

 

 отсюда 

 подставляя значения А,В,С  при t  0

тогда окончательно получаем:

(2.13.12)

или

, т.к. l.

Из выражения для  формула (2.13.12)  ,т.к. 

при

при 

Графики переходной и весовой функций.

Для сопоставления переходных процессов в ЯР при целесообразно привести уравнения кинетики к новому виду: безразмерное время , т.е. исследовать поведение в поколениях мгновенных нейтронов; безразмерное возмущение по реактивности  тогда уравнения кинетики имеют следующий вид: