2.8 Некоторые способы нахождения оригинала по известному изображению
Используем формулы разложения в ряды на элементарные различные дроби. Наиболее общей является формула Хэвисайда для нахождения оригиналов следующего вида:
где D0
и D1
– некоторые полиномы по степеням «s».
Например:
,
тогда для нахождения оригинала
:
,
кj
– кратность полюсов
- значение полюсов;
Корни уравнения из полинома D0 – полюса (D0)
Корни уравнения из полинома D1 – нули (D1).
Если все корни разные, кj = 1; если корни кратные (i равных), то кj = 2; если кj = 1, то производной (!) нет.
Пример:
предположим изображение некоторого
неизвестного процесса
;
?
;
Найдем полюса:
;
;
;
;
f(t)
arctgA
t
Разложение на элементарные дроби.
Если корни уравнения различны, т.е. все разные
(*)
где
- корни уравнения;
- остаточный член (не разлагается на
элементарные действительные дроби);
Используя свойство линейности преобразований Лапласа, мы можем найти как сумму преобразований:
Если полюса совпадают, то формула (*) несколько изменится.
Пример: Имеем известное изображение:
- оригинал: при условиях
Разложение на элементарные дроби:
Используя метод неопределенных коэффициентов, приведем полученное выражение к общему знаменателю:
Вычтем
из второго уравнения первое и получим:
f(t)
1
( перегиб )
t
0 4
2.9. Использование обратных преобразований Лапласа для решения уравнений динамики сар (звена).
x
(t)
САР (звено) y
(t)
X (s)
Предположим, что уравнение динамики имеет вид:
где
и
- постоянные времени;
-
коэффициент усиления.
Найдем
изображения
Подставим полученные выражения в уравнение динамики и получим уравнение динамики в изображениях:
Т.к.
начальные условия нулевые
Если
н.у. не нулевые
При
нулевых н.у.
Передаточной функцией САР (звена) называется отношение изображений выходного воздействия к входному при нулевых н.у.
-
изображение выхода к изображению входа.
После того, как в явном виде найдено изображение для неизвестной выходной величины, нахождение оригинала не представляет сложностей. Либо по формуле Хэвисайда, либо разложением на элементарные дроби, либо по таблице из справочника.
Пример:
x (t) Звено y (t)
Предположим, что звено имеет уравнение динамики:
,
н.у. нулевые:
ступенчатое воздействие.
- подставим все это в уравнение динамики
- уравнение динамики в изображениях
y(t)
0.63k
t
T