2.5.1. Использование преобразования Лапласа для операции дифференцирования

Пусть известно f(t) и его изображение по Лапласу: (f(t) F(s), а L[f(t)’ ] – неизвестно.

Воспользуемся соотношением (2.5.1)  

(2.5.9)

где f(0) – начальное условие.

Если начальные условия равны нулю  f(0) = 0;

(2.5.9.а)

Аналогичным способом найдем изображение 2-ой производной 

(2.5.10)

Если при t = 0 f(t) и f `(0) равны нулю (нулевые начальные условия), то 

(2.5.10.а)

Обобщая на производную n-го порядка при нулевых начальных условиях, имеем:

(2.5.11)

2.5.2. Использование преобразования Лапласа для операции интегрирования

Пусть известно преобразование f(t) F(s). Необходимо найти ???  по аналогии с предыдущим 

Окончательно:

(2.5.12)

Если начальные условия равные нулю:

(2.5.13)

2.6. Основные свойства преобразований Лапласа

2.6.1. Свойство линейности

Пусть есть процессы f₁(t) и f₂(t), каждый из которых имеет свое изображение по Лапласу: f₁(t) F₁(s); f₂(t) F₂(s). Если  то 

(2.6.1)

Если f(t)=a f₁(t), то:

(2.6.2)

2.6.2. Свойство подобия (свойство изменения масштаба)

Пусть f(t) F(s) - известно, а ??? 



(2.6.3)

2.6.3. Свойство запаздывания (теорема запаздывания)

Пусть известно преобразование f(t) F(s), а - неизвестно.

Рисунок 2.18 – Иллюстрация переходного процесса с запаздыванием

(2.6.4)

2.6.4. Свойство смещения в комплексной плоскости

Пусть f(t) F(s) - известно, а - неизвестно.  Опуская выкладки (хотя они и неложные), имеем 

(2.6.5)

2.6.5. Первая предельная теорема

Пусть f(t) F(s) - известно, а также - существует 

(2.6.6)

s

1. t

Это означает, что оси « t » и « s » формально направлены в противоположные стороны, т.е. чем больше t, тем меньше s и наоборот.

2.6.6. Вторая предельная теорема

Пусть f(t) F(s) - известно  тогда

(2.6.7)

2.7. Способы нахождения обратных преобразований Лапласа

по известному изображению

Вычисление оригиналов по известному (данному) изображению можно выполнить:

• по соответствующим таблицам преобразований Лапласа;

• по формулам Хэвисайда;

• разложением на элементарные дроби;

• и другие способы.

В справочниках по «Математике» приводятся довольно обширные таблицы, по которым можно найти оригиналы большинства изображений.

Однако, нередко бывают и случаи, когда необходимое преобразование отсутствует в таблицах  В этом случае используются различные специальные способы 

Если изображение F(s) можно представить в виде отношения полиномов по степеням «s», то наиболее общим и эффективным способом поиска оригинала является формула Хэвисайда.  если

где D₁(s) и D₀(s) – полиномы по степеням «s».

, (2.7.1)

где s_j – полюса изображения, т.е. те значения «s» при которых полином D₀(s) обращается в ноль;

k_j – кратность j – го полюса

Если уравнение D₀(s)=0 имеет n различных корней, то это означает что полюса F(s) имеют кратность, равную единице, т.е. нет повторяющихся полюсов.

Необходимо отметить, что использование формулы (2.7.1) будет корректно только в том случае, когда степень полинома D₀(s) выше степени полинома D₁(s). Если степени равны, то необходимо выделить целую часть (разделив «в столбик» полиномы) и чисто дробную часть, после чего для чисто дробной части корректна формула (2.7.1).

В качестве иллюстрации возможностей формулы Хэвисайда рассмотрим следующий пример:

Пример 1. Найти оригинал от изображения F(s) 

 ???

В данном примере полином D₁ выродился в полином нулевой степени, т.е.

D₁ = const = A.

Легко видеть, что полином D₀ = s²(TS + 1) имеет полюса:

 т.е. два полюса совпадают  к₁ = 2.

Таблица основных преобразований Лапласа.

	Наименование функции	Оригинал	Изображение
1	Единичная импульсная ф-ция	(t)	1
2	Единичное ступенчатое воздействие	1(t)	1/s
3	Неединичные импульсное и ступенчатое воздействия	a (t) ; a 1(t)	a; a/s
4	Экспонента	e –a t  1(t)
5	Степенная функция	t n
6	Синусоида	sin(at)
7	Косинусоида	cos(at)1(t)
8	Смещенная экспонента
9	Затухающая синусоида
10	Затухающая косинусоида