10.Связь напряжений с деформациями. Упругие характеристики. Изотропные материалы.

Уравнения, определяющие связь между напряжениями и деформациями, называют определяющими свойства материала уравнениями.

Инженерная модель материала, принятая в сопротивлении материалов, наделена

следующими свойствами:

• сплошность (материал непрерывно заполняет весь объем элемента конструкции);

• однородность (свойства материала в каждой точке одинаковы);

• изотропность (свойства материала во всех направлениях одинаковы);

• идеальная упругость (для материала выполняется закон Гука).

У изотропных материалов свойства во всех направлениях одинаковы или разницей можно пренебречь. У анизотропных механические характеристики зависят от направления (армированные материалы, композиты).

Упругость - это свойство тела изменять форму и размеры под действием внешних нагрузок и восстанавливать исходную конфигурацию при снятии нагрузок.

Материал называется линейно-упругим, если компоненты тензора напряжений и тензора деформаций связаны линейными соотношениями.

Пусть материал является линейно-упругим и изотропным.

1) Одноосное напряжённое состояние.

Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях одноосного напряженного состояния.

При таком нагружении происходит увеличение размеров в направлениипродольной осихарактеризуемое линейной деформацией , которая пропорциональна величине напряжения:

Это соотношение является математической записьюзакона Гука,устанавливающего пропорциональную зависимость между напряжением и соответствующей линейной деформацией при одноосном напряженном состоянии.

Коэффициент пропорциональности называется модулем продольной упругости или модулем Юнга.Характеризует жёсткость материала, имеет размерность напряжений – паскаль.

Наряду с увеличением размеров в направлении действия напряжения происходит уменьшение размеров в двух ортогональных направлениях, причем эти деформации отрицательны при положительных и пропорциональны :

Коэффициент пропорциональности называетсякоэффициентом Пуассона,который в силу изотропности материала одинаков для обоих ортогональных направлений.Коэффициент Пуассона зависит от природы вещества и характеризует изменение объема тела при упругой деформации. Если бы объем тела не изменялся, то Фактически, всегда

2) Чистый сдвиг

Касательные напряжения вызывают угловые деформации, причем при малых деформациях они не влияют на изменение линейных размеров, и следовательно, на линейные деформации.

Между касательным напряжением и угловой деформацией для линейно-упругого изотропного тела существуют пропорциональная зависимость, которая выражает закон Гука при чистом сдвиге:

Коэффициент пропорциональности называетсямодулем сдвига.Характеризует жёсткость материала при угловых деформациях.

Для изотропного тела три упругие постоянные связаны между собой зависимостью:

3) Гидростатика, всестороннее гидростатическое сжатие материала, когда:

Связь первых инвариантов тензоров напряжений и деформации:

объёмный модуль упругости.

4) Объёмное напряжённое состояние

Обобщённый закон Гука для изотропного тела выражает связь между напряжениями и деформациями для объёмного напряжённого состояния в любой произвольной системе координат, проходящей через точку: