8.Анализ напряжённого состояния при помощи построения кругов Мора.

Исследование напряжённого состояния в точке и определение напряжений в различных секущих площадках можно проводить графическим способом – путём построения круга напряжений или круга Мора. Круг Мора, или круговая диаграмма наряжённого состояния строится в масштабе в координатах и обладает тем свойством, что каждая его точка даёт значение нормальных и касательных напряжений в секущей площадке, расположенной под углом к исходной системе координат.

Круговая диаграмма может быть построена по заданным главным нормальным напряжениям, придерживаясь соотношения: . Радиус окружности равен полуразности главных напряжений. Таким образом, может быть построено три круга Мора.

Круговая диаграмма может быть построена, если заданы напряжения в неглавных осях :

. Точки пересечения окружности с осью σ дадут отрезки, равные искомым главным напряжениям . По диаграмме можно найти также , равное радиусу наибольшего круга.

Построим круг напряжений при плоском напряжённом состоянии.

Дано: заданы напряжения в неглавных осях угол между исходными осями и главными осями.

Определить: величину главных нормальных напряжений , наибольшее касательное напряжение , среднее напряжение σ и интенсивность напряжения .

Строим круг Мора по заданным напряжениям . Откладываем в масштабе по осям заданные значения . Соединяем точки их пересечения и на полученном отрезке как на диаметре строим окружность. Точки пересечения окружности с осью σ дадут отрезки, равные искомым главным напряжениям . По диаграмме находим , равное радиусу круга . На круге Мора можно также показать направление действия главных напряжений (положение главных осей) и направление действия заданных напряжений (положение исходных осей).

Каждая точка на круге определяет 3 компоненты напряжения и соответственно определяет положение осей координат.

По кругу Мора можно найти аналитические формулы для определяемых величин:

9.Деформированное состояние в точке.

Деформация - изменение размеров, формы и конфигурации тела в результате действия внешних или внутренних сил. Деформации разделяют на обратимые (упругие) и необратимые (пластические, ползучести). Упругие деформации исчезают после окончания действия приложенных сил, а необратимые - остаются. В основе упругих деформаций лежат обратимые смещения атомов металлов от положения равновесия; в основе необратимых - необратимые перемещения атомов на значительные расстояния от исходных положений равновесия.

Деформированное состояние в точке – это совокупность относительных линейных деформаций и углов сдвига для всевозможных направлений осей, проведенных через данную точку.

Тело можно представить состоящим из бесчисленного множества бесконечно малых (элементарных) параллелепипедов. Деформации элементарного параллелепипеда, т.е. деформированное состояние в точке, в окрестности которой выделен этот параллелепипед, характеризуются относительными удлинениями (укорочениями) его рёбер – линейными деформациямии изменениями прямых углов между его гранями – угловыми деформациями.

Отношение изменения длины ребра параллелепипеда к первоначальной длине ребра определяет относительную линейную деформацию элемента вдоль соответствующей оси:

Искажение первоначально прямого угла между ребрами элемента в плоскостях его граней определяет угол сдвига или угловую деформацию в соответствующей плоскости, например, для плоскости .

Относительные деформации в направлении координатных осей обозначаются .Линейная деформация связана с действием нормальных напряжений. Линейные деформации сопровождаются изменением объёма тела.

Относительное изменение объёма:

в пределах малых деформаций составит:

В результате угловой деформации происходит взаимное смещение параллельных граней, то есть сдвиг. При угловых деформациях изменяется только форма тела, а объём остаётся неизменным. Деформация сдвига определяется касательными напряжениями.

Углы сдвига в координатных плоскостях обозначаются .

Растяжение рёбер отвечает положительным значениям .

Если угол острый, то угол сдвига считается положительным.

Аналогично напряженному состоянию можно указать такие три ортогональные направления (с индексами 1, 2, 3), называемые главными осями деформации, для которых угловые деформации равны нулю, при этом линейные деформации принимают свои экстремальные значения Деформации в направлениях, для которых отсутствуют углы сдвига, называются главными деформациями в точке. При малых деформациях направления главных деформаций совпадает с направлениями главных напряжений. Различают трёхосное (все три главные деформации отличны от нуля), двухосное (одна из главных деформаций равна нулю) и одноосное (лишь одна из главных деформаций не равна нулю) деформированные состояния.