6.Преобразование напряжений при повороте системы координат.
При повороте системы координат вокруг любой оси, напряжения преобразуются по известным законам.
Преобразование напряжений в плоском напряжённом состоянии.
При
плоском напряжённом состоянии всегда
можно выделить элемент таким образом,
чтобы одна из граней была свободна от
напряжений. Эта грань является одной
из главных площадок (касательные
напряжения на ней отсутствуют), её можно
назвать нулевой
главной площадкой.
В плоской задаче ограничиваются
определением напряжений, возникающих
на наклонных площадках, перпендикулярных
свободной от напряжений грани элемента.
Рассмотрим элементарный параллелепипед,
на гранях которого действуют нормальные
напряжения 
а
третьенапряжение 
.
Положение
наклонной площадки и связанных с ней
осей 
определяется углом 
.Угол поворота осей
считается положительным, если он
совершается против часовой стрелки.
Нормальные
напряжения 
и касательноенапряжение
,
возникающие на этой площадке,определяются
по следующим формулам:
7.Главные напряжения. Максимальные касательные напряжения. Инварианты.
Через точку тела, находящегося в напряженном состоянии, можно провести бесконечное множество взаимно перпендикулярных плоскостей. И только на единственной тройке плоскостей будут отсутствовать касательные напряжения и действовать только нормальные.
В
любой точке тела при любом напряжённом
состоянии существуют 3 взаимно
ортогональные площадки, на которых
действуют только нормальные напряжения.
Такие площадки называются главными.
Нормальные напряжения на этих площадках
называются главными
нормальными напряжениями,
а оси, вдоль которых они действуют –
главными
осями.
Главные напряженияобозначаются: 
,
причём 
Напряженное
состояние в точке вполне определяется
направлением главных осей и величиной
главных нормальных напряжений. В
зависимости от количества действующих
главных напряжений различают три вида
напряженных состояний: линейное,
плоское и объемное.Линейным
или одноосным
называется напряженное состояние, при
котором два из трех главных напряжений
равны нулю. Примером линейного напряженного
состояния может служить осевое
растяжение-сжатие.Плоским
или
двухосным
называется напряженное состояние, при
котором одно из трех главных напряжений
равно нулю.Объемным
или трёхосным
называется напряженное состояние, при
котором все три главных напряжения
отличны от нуля. Различают
9 схем главных напряжений: 2 линейные
(растяжение, сжатие), 3 плоские (р-р, с-с,
р-с) и 4 объёмные (р-р-р, с-с-с, р-с-с, р-р-с).
Определим
напряжения, действующие на любой
наклонной площадке по известным главным
напряжениям 
.
Максимальные касательные напряжения.
Действуют
на площадках, расположенных под углом
к главным осям.
Инварианты.
Тензор
напряжений –
совокупность трёх нормальных и шести
касательных напряжений (фактически
трёх по закону о парности касательных
напряжений) характеризует любое сложное
напряженное состояние. Тензор позволяет
определять величину нормальных и
касательных напряжений в любой площадке,
проходящей через данную точку тела,
если известны ее направляющие косинусы
(косинус угла между площадкой и
соответствующей осью координат)
относительно выбранных осей координат.
Тензор задают матрицей, где каждое число
представляет собой значение 
Удлинение и укорочение образца обычно происходит под действием нормальных напряжений. Касательные напряжения вызывают сдвиговые деформации.
Тензор деформации– совокупность удлинений и сдвигов – по аналогии с тензором напряжений характеризует любое деформированное состояние в данной точке и позволяет определять относительное удлинение в любом направлении и относительный сдвиг в любой плоскости.
Напряжённое и деформированное состояния в точках можно характеризовать с помощью инвариантов напряжённого состояния в точке, так как они не изменяют своей величины при изменении направления исходной системы прямоугольных координат.
Инварианты – это величины, не изменяющиеся при повороте системы координат.
Инварианты тензора напряжений – это три коэффициента кубического уравнения:
три
корня 
которого являются главными напряжениями
в рассматриваемой точке.
Инварианты тензора деформаций – это три коэффициента кубического уравнения:
три
корня 
которого являются главными деформациями
в рассматриваемой точке.
Первый инвариант тензора напряжений пропорционален среднему напряжению:
Интенсивность напряжений – величина, определяющая касательное напряжение на элементарной площадке, одинаково наклонённой к главным осям напряжений в точке. Через компоненты тензора напряжений выражается формулой:
Первый инвариант тензора деформации:
Интенсивность деформации – величина, определяющая вызванное деформацией изменение угла между выбранными направлениями, одинаково наклонёнными к главным осям деформации в точке.Через компоненты тензора деформации выражается формулой:
