1.5. Сходимость эмпирических характеристик к теоретическим

Мы ввели три вида эмпирических характеристик, предназначенных для оценивания неизвестных теоретических характеристик распределения: эмпирическую функцию распределения, гистограмму, выборочные моменты. Если наши оценки удачны, разница между ними и истинными характеристиками должна стремится к нулю с ростом объема выборки. Такое свойство эмпирических характеристик называют состоятельностью. Убедимся, что наши выборочные характеристики таким свойством обладают.

1.5.1. Свойства эмпирической функции распределения

Теорема 1.

Пусть — выборка объема n из неизвестного распределения с функцией распределения F(y). ПустьF_n^*(y)— эмпирическая функция распределения, построенная по этой выборке. Тогда для любого y R

при

Замечание

F_n^*(y)— случайная величина, так как она является функцией от случайных величин X₁,X₂,…X_n. То же самое можно сказать про гистограмму и выборочные моменты.

Доказательство теоремы   1.  По определению 1,

Случайные величины , независимы и одинаково распределены, их математическое ожидание конечно:

поэтому применим закон больших чисел в форме Чебышева

при

Таким образом, с ростом объема выборки эмпирическая функция распределения сходится (по вероятности) к неизвестной теоретической, ч. т. д.

1.5.2. Свойства гистограммы

Пусть распределение непрерывно,f— его истинная плотность. Пусть, кроме того, число k интервалов группировки не зависит от n. Справедлива

Теорема 4. При для любого j=1,2,…,k площадь прямоугольника

+

    Доказательство.

По закону больших чисел

Теорема утверждает, что площадь столбца гистограммы, построенного над интервалом группировки, с ростом объема выборки сближается с площадью области под графиком плотности над этим же интервалом.

1.5.3. Свойства выборочных моментов

1. Свойства выборочного среднего.

Теорема. Выборочное среднее является несмещенной, состоятельной и асимптотически нормальной оценкой для математического ожидания:

1)

(несмещ.).

2) если ,то при (сост.)

3) Если DX и не равна нулю,то

Доказательство.

1)

2)Согласно закону больших чисел в форме Чебышева

3)Согласно ЦПТ,

Следствие.

Выборочный k-й момент является несмещенной, состоятельной и асимптотически нормальной оценкой для теоретического k-го момента.

2.Свойства выборочной дисперсии.

1)

Выборочные дисперсии S² иS₀² являются состоятельными оценками для истинной дисперсии:

2)

ВеличинаS²— смещенная, а S₀²— несмещенная оценка дисперсии:

3)

Выборочные дисперсии S² и являются асимптотически нормальными оценками истинной дисперсии:

.

Доказательство

1)

Во-первых, раскрыв скобки, убедимся в том, что

(2)

Из (2) и ЗБЧ следует, что . А т.к. то

2)

Воспользуемся формулой (2):

3) Асимптотическая нормальность выборочных дисперсий S² и S₀² доказывается аналогично доказательству асимптотической нормальности выборочного среднего.