Убедились, что в обоих случаях получаем равные множества. Следовательно, исходное соотношение справедливо. Билет 15. Эйлеровы графы
Граф (или мультиграф без петель) называется эйлеровым, если существует цикл без повторения ребер (такой цикл называют эйлеровым), обходящий все вершины графа. Граф называется полуэйлеровым, если существует маршрут без повторения ребер (эйлеров путь), обходящий все ребра графа ровно один раз. На рис. 3 изображены: а – эйлеров граф, б – полуэйлеров граф и в – граф, не являющийся ни эйлеровым, ни полуэйлеровым (люди старшего поколения знают, что в школах раньше было много загадок типа “можно ли нарисовать данную фигуру не отрывая ручку от бумаги”, что и соответствует эйлерову или полуэйлерову графу).
Теорема (Эйлер). Для того чтобы данный связный граф (не орграф, но, возможно, мультиграф без петель) был эйлеровым, необходимо и достаточно, чтобы степени всех вершин были четными.Данный связный граф будет полуэйлеровым тогда и только тогда, когда степени двух вершин будут нечетными, а степени остальных вершин – четными.
Доказательство этой теоремы начнем с так называемой леммы о рукопожатиях. Название этой леммы связано с тем, что эта лемма отвечает на следующий вопрос: У Вас собрались гости. Некоторые из них здороваются друг с другом посредством рукопожатий. Какими свойствами обладает число таких людей? Ответ дается следующей достаточно простой леммой.
Лемма о рукопожатиях. Число вершин в графе (или мультиграфе без петель), имеющих нечетную степень, четно.
Доказательство леммы. Заметим, что сумма степеней всех вершин в графе (или мультиграфе без петель) должна быть четной. Это следует из того, что если взять вершины, вообще не связанные друг с другом, то сумма степеней этих вершин равна нулю. Прибавляя любое ребро, которое связывает две вершины, увеличиваем сумму всех степеней на 2 единицы. Таким образом, сумма всех степеней вершин четна. Удаляя из этой суммы степени четных вершин, получим, что сумма степеней нечетных вершин, должна быть четной. Это значит, что само число таких вершин должно быть четным. Лемма доказана.
Примечание. Если граф (или мультиграф без петель) содержит 2k вершин нечетной степени, то его можно разбить на k полуэйлеровых графов (т. е. нарисовать k росчерками пера). Доказательство аналогично доказательству теоремы Эйлера.