ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Булевы функции и элементы теории графов методические указания и контрольные задания Авторы: Рабкин Е.Л., Фарфоровская Ю.Б. / СПбГУТ. – СПб
Получено с www.vizo.ru
Билет 1. Основные логические функции. Таблица истинности.
Логической ( булевой) функцией (или просто функцией) n переменных y = f(x1, x2, …, xn) называется такая функция, у которой все переменные и сама функция могут принимать только два значения: 0 и 1.
Переменные, которые могут принимать только два значения 0 и 1 называются логическими переменными (или просто переменными). Заметим, что логическая переменная х может подразумевать под числом 0 некоторое высказывание, которое ложно, и под числом 1 высказывание, которое истинно.
Из определения логической функции следует, что функция п переменных – это отображение Еп в Е, которое можно задать непосредственно таблицей, называемой таблицей истинности данной функции. Например, функция трех переменных f(x,y,z) может определяться следующей таблицей истинности.
x |
y |
z |
f(x,y,z) |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Две функции равны, если совпадают их таблицы истинности (на объединенном наборе переменных).
При таком задании наборы Еп всегда упорядочены естественным образом, это позволяет определять функцию только последним столбцом (который иногда для экономии места записывается в строчку). Например, в нашем примере функцию f(x,y,z) можно задать так: f = (10110100), это означает, что последний столбец таблицы истинности
Функции одной переменной y=f(x). Перенумеруем эти функции (их 4) естественным образом и расположим в виде таблицы:
x |
f0 |
f1 |
f2 |
f3 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Видно, что f0
(х)
= 0, a f3
(х)
=1, т. е. эти две функции не зависят от
х,
f1
(х)
= х,
т. е. она не меняет аргумента. Функция
f2
(х)
действительно содержательная функция.
Она принимает значения, противоположные
значениям аргумента, обозначается f2
(х)=
и называется отрицанием (применяют еще
обозначение ù x
(читается “не x”)).
Функции двух переменных z = f(x,y).
Число этих функций равно 24 = 16. Перенумеруем и расположим их тоже в естественном порядке.
Рассмотрим более подробно эти функции. Две из них f0 = 0 и f15 = 1 являются константами. Функции
являются по существу функциями одной переменной.
Наиболее важные функции двух переменных имеют специальные названия и обозначения. Заметим, что эти обозначения не всегда общеприняты.
Перечислим 7 важнейших функций:
1) Конъюнкция (функция и)
Заметим, что конъюнкция – это фактически обычное умножение (нулей и единиц). Иногда эту функцию обозначают x&y или xy;