14. Потенциал. Разность потенциалов. Потенциал вокруг точечного заряда. Эквипотенциальные поверхности.

Поле консервативной силы может быть описано не только векторной функцией, но эквивалентное описание этого поля можно получить, определив в каждой его точке подходящую скалярную величину. Для электростатического поля такой величиной является потенциал электростатического поля.

Потенциал- скалярная величина, равная отношению потенциальной энергии заряда в поле к величине этого заряда. [В=Дж/Кл].

Потенциал численно равен работе поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки электрического поля в бесконечность.

Разность потенциалов. Из формы вытекает что заряд, находящийся в точке поля с потенциалом обладает энергией W_п=φq Следовательно работа сил поля над зарядом может быть выражена через разность потенциалов

A₁₂=W_п1-W_п2=q(φ₁-φ₂). Таким образом работа совершаемая над зарядом силами поля равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.

Потенциал вокруг точечного заряда. Из формулы следует что потенциал числено равен потенциальной энергии которой обладал бы в данной точке поля единичный заряд. Подставив в значение потенциальной энергии получим для потенциала точечного заряда выражение

Колибровкой потенциальной энергии называется выбор точки в которой потенциальная энергия равна нулю W= ,

Принцип суперпозиции-потенциал создаваемый группой зарядов равен алгебраической сумме потенциалов создаваемой группой зарядов.

φ= φ₁+ φ₂+…

Эквипотенциальные линии-линии проходящие через точки с одинаковыми потенциалами.

15. Градиент. Связь потенциала и напряженности.

Для установления связи между силовой характеристикой электрического поля - напряжённостью и его энергетической характеристикой - потенциалом рассмотрим элементарную работу сил электрического поля на бесконечно малом перемещении точечного заряда q: dA = q E dl, эта же работа равна убыли потенциальной энергии заряда q: dA = - dWп = - q dφ, где dφ - изменение потенциала электрического поля на длине перемещения dl. Приравнивая правые части выражений, получаем: E dl = -dφ или в декартовой системе координат Ex dx + Ey dy + Ez dz = -dφ, где Ex, Ey, Ez - проекции вектора напряженности на оси системы координат. Поскольку выражение представляет собой полный дифференциал, то для проекций вектора напряженности имеем

Откуда

Стоящее в скобках выражение является градиентом потенциала j, т. е.

E = - gradφ = -Ñφ

Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком. Знак «минус» указывает, что напряженность E направлена в сторону убывания потенциала.

Рассмотрим электрическое поле, создаваемое положительным точечным зарядом q. Потенциал поля в точке М, положение которой определяется радиус-вектором r, равен φ= q / 4pe0er. Направление радиус-вектора r совпадает с направлением вектора напряженности E, а градиент потенциала направлен в противоположную сторону. Проекция градиента на направление радиус-вектора

Проекция же градиента потенциала на направление вектора t, перпендикулярного вектору r, равна

т. е. в этом направлении потенциал электрического поля является постоянной величиной ( φ= const). В рассмотренном случае направление вектора r совпадает с направлением силовых линий. Обобщая полученный результат, можно утверждать, что во всех точках кривой, ортогональной к силовым линиям, потенциал электрического поля одинаков.