Умножение матриц обладает следующими свойствами:

-- ассоциативность умножения; , где -- число; , -- дистрибутивность умножения; , , где -- единичная матрица соответствующего порядка. Предполагается, что все указанные произведения имеют смысл.

Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если .         

Если матрица имеет обратную, то и .

Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.

Если обратная матрица существует, то она единственна.

        Доказательство.     Пусть две матрицы и являются обратными для матрицы . Тогда

   и

Следовательно, .     

Обратная матрица для квадратной матрицы существует тогда и только тогда, когда матрица  -- невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула.

Присоединенной матрицей называют матрицу A^* , транспонированную к матрице (A_ij) алгебраических дополнений. 

Метод нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Чтобы найти матрицу A^-1 обратную к А, фактически надо решить матричное уравнение AX = E. Отметим, что если над матрицей А выполняется какое-либо элементарное преобразование строк, то это же преобразование осуществляется и над матрицей AX, поскольку любое элементарное преобразование строк матрицы эквивалентно умножению её слева на соответствующую матрицу специального вида. Таким образом, уравнение AX = E над матрицами A и E одновременно выполнить какое-либо элементарное преобразование строк, т.е. домножить это равенство слева на некоторую матрицу специального вида, то в результате получится новое матричное уравнение A₁X = B_1. Оба эти матричные уравнения имеют одно и то же решение, так как любое элементарное преобразование строк. Последовательность элементарных преобразований строк надо подобрать так, чтобы на s – м шаге матрицы A превратилась единичную матрицу. В результате этих s шагов получается уравнение A_sX = B_s, где A_s = E, т.е X = B_{s .} Итак, поскольку А^-1 является решением уравнения AX = E, которое эквивалентно X = B_s, то A^-1 = B_s.

Теорема о матрице, обратной произведению двух обратимых матриц. Если квадратные матрицы A и В порядка n имеют обратные матрицы, то и их произведение имеет обратную матрицу, причём (АВ)^-1 = В^-1*А^-1. Док-во. В соответствии с определением единственности обратной матрицы достаточно доказать два равенства:

(АВ) В^-1*А^-1 = Е, (В^-1*А^-1)(АВ) = Е. Использую ассоциативность умножения матриц получаем: (АВ) В^-1*А^-1 = А(ВВ^-1)А^-1 = АЕА^-1 = АА^-1 = Е ,

(В^-1*А^-1)(АВ) = В^-1(А^-1А)В = В^-1ЕВ = В^-1В = Е . Что и требовалось доказать.

Теорема о транспонировании обратной матрицы. Если матрица А порядка n имеет обратную, то и транспонированная матрица A^T имеет обратную , причём

(A^T) ^-1 = (А^-1) ^T. Док-во. Нужно убедиться, что А^T (А^-1) ^T = Е и (А^-1) ^TА ^T = Е. Используя свойство произведения матриц относительно операции транспонирования имеем: А^T (А^-1) ^T = (А^-1А)^Т = Е^Т = Е , (А^-1)^ТА^Т= (АА^-1)^Т = Е^Т = Е

19

МИНОР: Пусть дана матрица размеров и число k, не превосходящее наименьшего из чисел и : . Выберем произвольно строк матрицы и столбцов (номера строк могут отличаться от номеров столбцов). Определитель матрицы, составленной из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, называется минором порядка матрицы .         

        Пример: Пусть .

Минором первого порядка является любой элемент матрицы. Так 2, -5, -4 - миноры первого порядка.

Миноры второго порядка:

1. возьмем строки 1, 2, столбцы 1, 2, получим минор ;

2. возьмем строки 1, 3, столбцы 2, 4, получим минор ;

3. возьмем строки 2, 3, столбцы 1, 4, получим минор

Миноры третьего порядка:

строки здесь можно выбрать только одним способом,

1. возьмем столбцы 1, 3, 4, получим минор ;

2. возьмем столбцы 1, 2, 3, получим минор .

        РАНГ МАТРИЦЫ: Рангом матрицы называется наибольший из порядков миноров матрицы , отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю. Ранг матрицы обозначается так: R(A).

        Пример: Матрица имеет ранг 3, так как есть минор третьего порядка, отличный от нуля, а миноров четвертого порядка нет.

Ранг матрицы равен 1, так как есть ненулевой минор первого порядка (элемент матрицы ), а все миноры второго порядка равны нулю.

Ранг невырожденной квадратной матрицы порядка равен , так как ее определитель является минором порядка и у невырожденной матрицы отличен от нуля.         

Следствие: При транспонировании матрицы ее ранг не меняется, то есть .

 Доказательство.     Транспонированный минор исходной матрицы будет являться минором транспонированной матрицы , и наоборот, любой минор является транспонированным минором исходной матрицы . При транспонировании определитель (минор) не меняется. Поэтому если все миноры порядка в исходной матрице равны нулю, то все миноры того же порядка в тоже равны нулю. Если же минор порядка в исходной матрице отличен от нуля, то в есть минор того же порядка, отличный от нуля. Следовательно, .     

Базисный минор: Пусть ранг матрицы равен . Тогда любой минор порядка , отличный от нуля, называется базисным минором.         

        Пример: Пусть . Определитель матрицы равен нулю, так как третья строка равна сумме первых двух. Минор второго порядка, расположенный в первых двух строках и первых двух столбцах, равен . Следовательно, ранг матрицы равен двум, и рассмотренный минор является базисным.

Базисным минором является также минор, расположенный, скажем, в первой и третьей строках, первом и третьем столбцах: . Базисным будет минор во второй и третьей строках, первом и третьем столбцах: .

Минор в первой и второй строках, втором и третьем столбцах равен нулю и поэтому не будет базисным.

Линейная зависимость строк и столбцов. Строки и столбцы матрицы можно рассматривать как матрицы – строки и матрицы – столбцы, соответственно над ними тоже можно выполнять линейные операции. Ограничение на операцию сложения состоит лишь в том, что строки (столбцы) должны быть одинаковой длины (высоты), но это условие всегда выполняется для строк (столбцов) одной матрицы.

Система столбцов (строк) является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из столбцов (одна из строк) является линейной комбинацией других столбцов (строк) этой системы.    

Строки (столбцы) a_{1 …} a_s называют линейно зависимыми, если равенство λ₁a₁ + … + λ₂a_s =0

Где 0 в правой части – нулевая строка (столбец), возможно лишь при λ₁ = … = λ_s = 0. В противном случае, когда существуют такие действительные числа λ₁ … λ_s, не равные нулю одновременно, что выполняется равенство (λ₁a₁ + … + λ₂a_s =0), эти строки (столбцы) называют линейно зависимыми.

Теорема1: Строки (столбцы) линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы одна (один) из них является линейной комбинацией остальных.

Доказательство: Если строки a₁, … a_s линейно зависимы, то согласно определению линейно независимых строк, существуют такие действительные числа λ₁, … λ_s, не равные нулю одновременно, что λ₁a₁ + … + λ_sa_s = 0. Выберем ненулевой коэффициент λ_i. Для простоты пусть это будет λ₁. Тогда: λ₁a₁ = (-λ₂)a₂ + … + (-λ_s)a_s, и следовательно a₁ = (-λ₂/λ₁)a₂ + … + (-λ_s/λ₁)as, т.е строка a₁ представляется в виде линейной комбинации остальных строк.

Теорема2: Пусть строки (столбцы) a₁, … a_s а каждая из строк (столбцов) b₁, … b_l являются их линейной комбинацией. Тогда все строки (столбцы) a₁, … a_{s ,} b₁, … b_l линейно зависимы.

Доказательство: По условию b₁ есть линейная комбинация a₁, … a_s т.е b₁ = λ₁a₁ + … + λ₂a_{s .} В эту линейную комбинацию добавим строки (столбцы) b₂ … b_l (при l>1) с нулевыми коэффициентами. b₁ = λ₁a₁ + … + λ₂a_s + 0 b₂ + … + 0 b_l. Согласно Теореме1 строки (столбцы)

a₁, … a_{s ,} b₁, … b_l линейно зависимы.