38.Оптимизация как заключительный этап вычислительного эксперимента. Модели и постановка задач оптимизации. Методы минимизации функций одной переменной

Оптимизация — в математике, информатике и исследовании операций задача нахождения экстремума (минимума или максимума) целевой функции в некоторой области конечномерного векторного пространства, ограниченной набором линейных и/или нелинейных равенств и/или неравенств.В процессе проектирования ставится обычно задача определения наилучших, в некотором смысле, структуры или значений параметров объектов. Такая задача называется оптимизационной. Если оптимизация связана с расчётом оптимальных значений параметров при заданной структуре объекта, то она называется параметрической оптимизацией. Задача выбора оптимальной структуры является структурной оптимизацией.

Три базовых типа моделей:

1) физическая модель (представляет то, что исследуется, с помощью увеличенного или уменьшенного описания объекта или системы. Отличительная характеристика физической модели состоит в том, что в некотором смысле она выглядит как моделируемая целостность.

2) аналоговая модель (представляет исследуемый объект аналогом, который ведет себя как реальный объект, но не выглядит как таковой. Пример аналоговой модели – организационная схема.

3) математическая модель (в этой модели, называемой также символической используются символы для описания свойств или характеристик объекта или события).

Построение модели является процессом. Основные этапы этого процесса – постановка задачи, построение, проверка на достоверность, применение и обновление модели

Методы минимизации функций одной переменной:

1.Методы исключения интервалов - Метод деления пополам

Предыдущий алгоритм деления интервала пополам требует на каждой итерации вычисление целевой функции f(x) в двух новых пробных точках.

-Метод золотого сечения

2.Полиноминальная аппроксимация

- Квадратичная аппроксимация

Аппроксимация – замена одниx математическиx объектов (функций) другими, более простыми, близкими по форме к исxодным. Например, замена кривой линии ломаной линией. Аппроксимация обычно применяется в теx случаяx, когда функция f(x) задана таблично, т.е. в несколькиx узловых точкаx x_i:

Задача аппроксимации: подобрать такую аналитическую функцию φ(x), чтобы она проxодила вблизи узлов у_i или точно через ниx. Иными словами, значения аналитической функции φ(x) должны быть близкими к значениям табличной функции f(x). Функция φ(x) называется аппроксимирующей функцией. Аппроксимацию можно осуществить различными функциями. Например, часто используются многочлены (полиномы), т.к. они являются самыми простыми функциями и имеют непрерывные производные. Используют два вида аппроксимации: интерполяцию и сглаживание (подбор эмпирическиx моделей).

- Кубическая аппроксимация

Однако в данном случае построение аппроксимирующего полинома проводится на основе меньшего количества точек, поскольку в каждой точке можно вычислять как значение функции, так и ее производной

3.Методы с использованием производных

-Метод Ньютона-Рафсона Метод, разработанный Ньютоном, а затем уточненный Рафсоном предполагает, что f(x) дважды дифференцируема. Работа алгоритма начинается в точке x₁, которая представляет начальное приближение (или начальную оценку) искомой точки минимума, или корня уравнения f’(x)=0. Затем строится линейная аппроксимация функции f’(x) в точке x₁, и точка, в которой аппроксимирующая линейная функция обращается в нуль, принимается в качестве следующего приближения.

- Методы средней точки и секущих Заметим, что логическая структура алгоритма основана на анализе только знака производной независимо от значений, которая эта производная принимает. С одной стороны это упрощает алгоритм, с другой стороны мы не используем информацию о величине производной, которая могла бы повысить эффективность поиска.Метод секущих как раз и использует информацию не только о знаке производной, но и о величине этой производной