37 Математические модели и численные методы решения задач. Модели, приводящие к необходимости численного дифференцирования и интегрирования функций.

Математические модели представляют собой упрощенное описание исследуемого явления с помощью математических символов и операций над ними. Математические модели разрабатываются с соблюдением корректности и адекватности по отношению к реальным процессам, но, как правило, с учетом простоты их технической реализации.

При математическом моделировании важным моментом является первоначальная математическая постановка задачи. Она предполагает описание математической модели и указания цели ее исследования. Для одной и той же математической модели могут быть сформулированы и решены различные математические задачи.

Математическая модель называется аналитической, если ее уравнения и соотношения получены путем теоретических выкладок. Если же они получены в результате обработки опытных данных, то такая модель называется эмпирической.

Математические модели по числу аргументов (факторов), от которых зависит значение функции, делятся на однофакторные (y=f(x₁)) и многофакторные (y=f(x₁,x₂,…,x_n) ).

Однофакторные модели делятся на: линейные (модель – уравнение прямой линии) и нелинейные (уравнения модели – других видов: гиперболические, экспоненциальные, показательные, полиномиальные и др.).

Модели по числу параметров, значения которых необходимо определить, делятся на:- однопараметрические (y=ax, y=ae^x, y=x^b и т.д.);- двухпараметрические (y=a+bx, e=ae^bx, y=ax^b и т.п.);

- многопараметрические (y=a+bx+cx² и т.д.)

Основным инструментом реализации математических моделей являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к вычислению конечного числа арифметических действий над числами и получение этого решения в виде числовых значений. Решение, получаемое численными методами, обычно является приближенным, т.е. содержит некоторую погрешность.

Численные методы:-прямые;-косвенные.

Из прямых методов решения СЛАУ рассмотрим методы Гаусса и прогонки.

В методе Гаусса матрица СЛАУ с помощью равносильных преобразований преобразуется в верхнюю треугольную матрицу, получающуюся в результате прямого хода. В обратном ходе определяются неизвестные.

Метод прогонки является одним из эффективных методов решения СЛАУ с трех - диагональными матрицами, возникающих при конечно-разностной аппроксимации задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и уравнений в частных производных второго порядка и является частным случаем метода Гаусса.

Методы последовательных приближений, в которых при вычислении последующего приближения решения используются предыдущие, уже известные приближенные решения, называются итерационными.

Итерационные методы решения СЛАУ:

- Метод простой итерации

- Метод Ричардсона

- Метод Якоби

- Метод Зейделя

Метод простых итераций довольно медленно сходится. Для его ускорения существует метод Зейделя, заключающийся в том, что при вычислении компонента хк+¹ вектора неизвестных на (к+1)-й итерации используютсях₁^к+¹,х₂^к+¹,...,х^¹, уже вычисленные на (к+1)-й итерации. Значения остальных компонент х^к+„х^к+₂,...,х^ берутся из предыдущей итерации.

- Метод релаксации Релаксация – (физ.тех.) постепенное ослабление какого-либо состояния тела после прекращения действия факторов вызвавших это состояние.