3 3 . Точностные характеристики измерительных систем.

При измерении неизвестной величины x получают ее приближенное значение x*.

x –действительное значение

x*–результат измерения

Погрешность оценки x определяется:

-неидеальностью метода измерения

-неидеальностью аппаратуры

-изменением ее характеристик во времени

-чувствительностью характеристик к изменению параметров окружающей среды

-чувствительностью аппаратуры к внешним помехам

Инструментальные погрешности:

Погрешность измерения e - обычно случайная величина c плотностью распределения вероятностей f(e ). На практике в качестве оценки e используют некоторые параметры этого распределения:

экстремальные оценки погрешности

интегральные оценки погрешности

оценки, основанные на доверительных интервалах и доверительных вероятностях

Экстремальные оценки погрешности

Модуль максимального отклонения:

∆max= | x –x*|max

Модуль максимальной относительной погрешности:

δ max= | x –x*|max / x

Модуль максимальной приведенной погрешности:

δ np= | x –x*|max / xmax

И

3

нтегральные оценки погрешности

Средний модуль отклонения:

Средний модуль относительной погрешности :

Средний модуль приведенной погрешности:

Среднее квадратическое отклонение:

Оценки по доверительным интервалам и вероятностям

Доверительная вероятность bt - вероятность того, что погрешность измерения |et| не выходит за заданные пределы ±e0 , т.е.

bt = p{ -e0 £ et £ e0 }

Например, для нормального закона распределения

p{ |et| £ s } = 0,68

p{ |et| £ 2s } = 0,95

p{ |et| £ 3s } = 0,997

Если закон распределения неизвестен, то при M[e] = 0 верхнюю оценку bt можно определить из неравенства Чебышева

bt* ³ 1- D[e] / e²t

4 4 . Быстродействие измерительных систем. Квантование во времени и восстановление сигнала. Погрешности восстановления.

1)Измерения уровня(постоянный ток)

2)Измерения формы сигнала

3)Измерения скоростные для оценивания высокочастотных составляющих

Интервал времени между отсчетами:

Интервал времени Dt между измерениями выбирается, исходя из скорости изменения непрерывного сигнала, заданной погрешности и выбранного метода восстановления сигнала.

В результате измерений сигнал представляется дискретной последовательностью отсчетов:

X(t) » { x[0], x[Dt], x[2Dt],…, x[iDt],…, x[nDt] }

Для одного и того же сигнала и фиксированной погрешности можно получить различные значения Dt для разных методов восстановления – аппроксимации результатов измерений.

Критерии восстановления сигнала

В качестве критерия точности восстановления сигнала может выбираться условие:

отсутствия погрешности восстановленной кривой в узлах аппроксимации и обеспечения заданной погрешности между узлами –точечная интерполяция

обеспечения заданной погрешности на всем интервале аппроксимации –равномерное приближение

Для восстановления сигнала используются аппроксимирующие полиномы Лагранжа, Чебышева, Фурье, Уолша и др.

Восстановление сигнала

Аппроксимация степенным полиномом:

должна удовлетворять условиям:

Решив эту систему, можно найти коэффициенты ak

Восстановление сигнала полиномами Лагранжа

П

4

огрешности восстановления

для аппроксимирующего полинома Лагранжа погрешность между узлами

где Mn+1 – максимальное значение (n+1)-й производной x(t) на отрезке аппроксимации

обычно пользуются полиномами Лагранжа нулевой степени (n=0 – ступенчатая аппроксимация) и первой степени (n=1 – линейная аппроксимация)

Интервал квантования во времени для полинома Лагранжа n=0

для n=0, заданной максимальной погрешности восстановления e_max и максимальном значении первой производной сигнала M1 интервал времени между измерениями при равномерном квантовании

например, если задана погрешность e_max = 0,01, то для сигнала x = sinw t, M1 = 6,28 и интервал квантования по времени должен быть не более D t0 £ 0,0016

Интервал квантования во времени для полинома Лагранжа n=1

для n=1, заданной максимальной погрешности восстановления emax и максимальном значении второй производной сигнала M2 интервал времени между измерениями при равномерной квантовании

например, если задана погрешность emax = 0,01, то для сигнала x = sinw t, M2 =39,44 и интервал квантования по времени должен быть не более D t1 £ 0,045

Восстановление рядом Котельникова

Непрерывная функция x(t), удовлетворяющая условиям Дирихле, с ограниченной верхней частотой спектра fc ,может быть представлена отсчетами x(jDt), взятыми с интервалом Dt £ 1/2fc :

- функция отсчетов

Интервал квантования во времени при восстановлении рядом Котельникова

D t £ 1/2fc т.е. частота измерений fk должна вдвое превышать верхнюю частоту спектра сигнала fk ³ 2fc для сигнала x = sinw t D t £ 0,5

Интервал квантования во времени

Таким образом, частота измерений fи должна выбираться с учетом заданной погрешности, динамических свойств сигнала и используемого метода восстановления.

При этом интервала времени между отсчетами должно быть достаточно для выполнения всех операций, необходимых для получения результата измерения

И

4

з чего состоит интервал квантования?

В общем случае длительность интервала между отсчетами

t = tk + tADC + tpr + ttr , где tk – время коммутации источника сигнала

tADC – время аналого-цифрового преобразования, tpr – время обработки отсчетов АЦП

ttr – время вывода результатов

Надежность измерительных систем

1. Вероятность безотказной работы в течение заданного времени – p(t)

2. Среднее время наработки на отказ – Т0

3. Среднее время восстановления работоспособности – ТВ