Лекция №11

Устойчивость САУ

Нули и полюсы передаточной функции

Корни полинома в числителе передаточной функции называются ну­лями, а корни полинома в знаменателе – полюсами передаточной функции. Полюсы одновременно корни характеристического уравнения, или характеристические числа.

Е сли корни числителя и знаменателя передаточной функции ле­жат в левой полуплоскости (при этом корни числителя и знаменателя лежат в верхней полуплоскости), то звено называется минимально-фазо­вым.

Соответствие левой полуплоскости корней р верхней полуплоскости корней (рис.2.2.1) объясняется тем, что , или , т.е. вектор получается из вектора поворотом на угол по часовой стрелке. В результате все векторы из левой полуплоскости приходят в векторы в верхней полуплоскости.

Неминимально-фазовые и неустойчивые звенья

Расмотренные выше звенья позиционного и дифферинцирующего типов относятся к устойчивым звеньям, или к звеньям с самовыравниванием.

Под самовыравниванием понимается способность звена самопро-извольно приходить к новому установившемуся значению при ограниченном изменении входной величины или возмущающего воздействия. Обычно термин самовыравнивание применяется для звеньев, являющихся объектами регулирования.

Существуют звенья, у которых ограниченное изменение входной величины не вызывает прихода звена к новому установившемуся состоянию, а выходная величина имеет тенденцию неограниченного возрастания во времени. К ним, например, относятся звенья интегрируюшего типа.

Существуют звенья, у которых этот процесс выражен еще заметнее. Это объясняется наличием положительных вещественных или комплексных корней с положительной вещественной частью в характеристическом уравнении (знаменателе передаточной функции, приравненом нулю), в результате чего звено будет относиться к категории неустойчивых звеньев.

Например, в случае дифференциального уравнения , имеем передаточная функция и характеристическое уравнение с положительным вещественным корнем . Это звено имеет одинаковую амплитудно-частотную характеристику с инерционным звеном с передаточной функцией . Но фазо-частотные характеристики этих звеньев совпадают. Для инерционного звена имеем . Для звена с передаточной функцией имеем

,

т.е. большее по абсолютной величине значение.

В связи с этим неустойчивые звенья относятся к группе не минимально-фазовых звеньев.

К не минимально-фазовым звеньям относятся также устойчивые звенья, имеющие в числителе передаточной функции (соответствующем правой части дифференци­ального уравнения) вещественные положительные корни или комплексные корни с положительной вещественной частью.

Например, звено с передаточной функцией относится к группе не минимально–фазовых звеньев. Модуль частотной передаточной функции совпадает с модулем частотной передаточной функции звена, имеющего переда­точную функцию . Но фазовый сдвиг первого звена по абсо­лютной величине больше:

.

Минимально-фазовые звенья имеют меньшие фазовые сдвиги по сравнению с соответствующими звеньями, имеющими такие же амплитудные частотные характеристики.

Говорят, что система устойчива или обладает самовыравниванием, если после снятия внешнего возмущения она возвращается в исходное состояние.

Так как движение системы в свободном состоянии описывается однородным дифференциальным уравнением, то мате­матическое определение устойчивой системы можно cфоpмулировать следующим образом:

Система называется асимптотически устойчивой, если выполняется условие (2.9.1)

Из анализа общего решения (1.2.10) вытекает необходимое и до­статочное условие устойчивости:

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели строго отрицательные вещественные части, т.е. Rep_i < 0, I = 1…n. (2.9.2)

Для наглядности корни характеристического уравнения принято изображать на комплексной плоскости рис.2.9.1а. При выполнении не­обходимого и достаточн

Рис.8.12. Плоскость корней

характеристического

уравнения A(p) = 0

ОУ- область устйчивости

ого условия (2.9.2) все корни лежат слева от мнимой оси, т.е. в области устойчивости.

Поэтому условие (2.9.2) можно сформулировать следующим обра­зом.

Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения располагались в левой полуплоскос­ти.

Необходимость условия устойчивости. Необходимость заключается в том, что если система устойчивая, то корни характеристического уравнения имеют строго отрицательные вещественные части, т.е. находятся в левой комплексной полуплоскости.

Достаточность условия устойчивости. Достаточность заключается в том, что наличие всех корней характеристического уравнения с отрицательными вещественными частями гарантирует устойчивость, согласно формуле (2.9.1.).

Строгое общее опреде­ление устойчивости, методы исследования устойчивости нелинейных систем и возможность распространения заключения об устойчивости линеаризованной системы на исходную нелинейную систему даны рус­ским ученым А.М.Ляпуновым.

На практике устойчивость часто определяется косвенным пу­тем, с помощью так называемых критериев устойчивости без непос­редственного нахождения корней характеристического уравнения. К ним относятся алгебраические критерии: условие Стодолы, критерии Гурвица, Михайлова, а также частотный критерий Найквиста. При этом критерий Найквиста позволяет определять устойчивость замкнутой системы по АФХ или по логарифмическим характеристикам разомкнутой системы.