1.46. Критерий Байеса

Если на основе данных статистических наблюдений можно определить вероятности состояний “природы” q_j ( ), то пользуются критерием Байеса. Согласно этому критерию оптимальной считается та чистая стратегия А_i, которая соответствует максимальному среднему значению (математическому ожиданию) выигрыша:

.

Аналогично можно выбрать стратегию, которая обеспечивает минимальное среднее значение риска:

.

1.57. Критерий Лапласа

Если игроку А представляются в равной мере правдоподобными все состояния П_j природы, то полагают q₁ = …= q_n = 1/n и, учитывая “принцип недостаточного основания” Лапласа, оптимальной считают чистую стратегию А_i, обеспечивающую максимальный средний выигрыш:

.

Если вероятности q_j состояний природы совсем неизвестны и нельзя сделать о них никаких предположений, то пользуются критериями Вальда, Сэвиджа и Гурвица.

1.68. Максиминный критерий Вальда

Согласно критерию Вальда, оптимальной считается та стратегия игрока А, которая гарантирует в наихудших условиях максимальный выигрыш:

.

Критерий Вальда выражает позицию крайнего пессимизма, и принимаемое решение носит заведомо перестраховочный характер.

1.79. Критерий Сэвиджа (минимаксного риска)

Выбирается та стратегия, которая в наихудших условиях дает наименьший риск:

.

Критерий минимаксного риска Сэвиджа также является критерием крайнего пессимизма.

1.810. Критерий обобщенного максимума Гурвица

Оптимальной по критерию Гурвица считается чистая стратегия А_i, найденная из условия:

,

где  – коэффициент пессимизма, принимающий значения 0   1.

При  = 1 критерий Гурвица превращается в критерий Вальда (критерий “крайнего пессимизма”), а при  = 0 – в критерий “крайнего оптимизма”, когда рекомендуется выбирать стратегию, обеспечивающую самый большой выигрыш. В связи с этим критерий Гурвица называют критерием “пессимизма-оптимизма”.

Величина  выбирается из опыта и здравого смысла. Чем ответственнее ситуация, чем больше стремление подстраховаться в ней и не рисковать без должных оснований, тем ближе к единице выбирается коэффициент пессимизма.

Примеры решения заданий

Пример 1. В игре принимают участие два игрока. Каждый из игроков может записать независимо от другого цифру 4, 5 или 6. Если разность между цифрами, записанными игроками А и В положительна, то игрок А выигрывает количество очков, равное этой разности. Если разность отрицательна, то выигрывает игрок В. Если разность равна нулю, то игра заканчивается вничью. Составить платежную матрицу и найти решение игры.

Решение:

Составим платежную матрицу игры. Чистыми стратегиями игрока А будут: А1 – записать число 4; А2 – записать число 5; А3 – записать число 6. У игрока В чистыми будут аналогичные стратегии. Элемент матрицы а₁₁ = 0, так как в ситуации (А1; В1) оба игрока записывают цифру 4 и выигрыш игрока А равен 4 – 4 = 0. В ситуации (А1; В2) выигрыш игрока А составит а₁₂ = 4–5 = –1. Аналогичным образом вычисляются остальные элементы платежной матрицы (рисунок 1).

	B1 (4)	B2 (5)	B3 (6)	i
A1(4)	0	–1	–2	–2
A2 (5)	1	0	–1	–1
A3(6)	2	1	0*	0
j	2	1	0

Рисунок 1. Платежная матрица примера

Определим минимальные гарантированные выигрыши игрока А, равные при выборе им стратегий А_i. Так, если игрок А записал цифру 4, то его минимальный выигрыш при выборе данной стратегии составит ₁ = min(0; –1; –2) = –2. Аналогично находим ₂ = min(1; 0; –1)= –1, если игрок А записал цифру 5 и ₃ = min(2; 1; 0) = 0, если им записана цифра 6. Найдем нижнюю цену игры игрока А, воспользовавшись “принципом максимина”, т. е. . Нижняя цена игры для игрока А составит  = max(–2; –1; 0) = 0. Таким образом, максиминному выбору игрока А будет отвечать третья стратегия, гарантирующая выигрыш, равный нулю.

Для игрока В значения элементов составят соответственно = 2, = 1, = 0. Верхняя чистая цена игры для игрока В по “принципу минимакса” составит = min (2; 1; 0) = 0. Следовательно, минимаксному выбору игрока В будет отвечать третья стратегия, гарантирующая минимальный проигрыш, равный нулю.

Так как   , то данная игра имеет седловую точку, т. е. третья чистая стратегия игрока А и третья чистая стратегия игрока В образуют седловую точку со значением 0 и данная матричная игра имеет решение (A₃; B₃; 0).

Пример 2. Выполнить возможные упрощения платежной матрицы:

. (1)