3. Упрощение матричных игр

Если платежная матрица игры не содержит седловой точки, то задача определения оптимальной смешанной стратегии тем сложнее, чем больше размерность матрицы. Поэтому для игр с платежными матрицами большой размерности отыскание решения можно несколько упростить, если уменьшить их размерность путем вычеркивания дублирующих и заведомо невыгодных стратегий.

Если в матрице игры все элементы строки (столбца) равны соответствующим элементам другой строки (столбца), то соответствующие строкам (столбцам) стратегии называются дублирующими.

Если в матрице игры все элементы некоторой строки, определяющей стратегию А_i игрока А, не больше (меньше или равны) соответствующих элементов другой строки, то стратегия A_i называется заведомо невыгодной.

Если в матрице игры все элементы некоторого столбца, определяющего стратегию В_j игрока В, не меньше (больше или равны) соответствующих элементов другого столбца, то стратегия B_j называется заведомо невыгодной.

Для того, чтобы перевести значения всех элементов платежной матрицы в область неотрицательных значений, нужно ко всем элементам матрицы добавить некоторое достаточно большое число L. При этом цена игры  увеличится на L, а решение задачи не изменится.

Таким образом, платежную матрицу можно всегда преобразовать так, что ее элементы будут целыми неотрицательными числами, а это упрощает расчеты.

1.2.24. Решение матричных игр без седловых точек

Если матрица игры содержит седловую точку, то ее решение находится по принципу минимакса (матричная игра решается в чистых стратегиях). Если же платежная матрица не имеет седловой точки, т. е.   , то решением для каждого игрока будет сложная стратегия, состоящая в случайном применении им двух и более чистых стратегий.

Если в процессе игры игрок применяет попеременно несколько чистых стратегий с определенными частотами, то такая стратегия игрока называется смешанной.

Однако, следует отметить, что применение игроками смешанных стратегий имеет смысл только тогда, когда данная игра проводится ими многократно. В случае однократно проводимой игры, не имеющей седловой точки, дать какие-либо содержательные рекомендации игрокам не представляется возможным.

Смешанной стратегией игрока А называется вектор (p₁; p₂; …, p_m), где p_i – вероятность, с которой игрок A выбирает свою чистую стратегию A_i. Компоненты вектора р удовлетворяют условиям: .

Смешанной стратегией игрока B называют вектор , где q_i – вероятность применения игроком B его чистой стратегии B_j. При этом .

Решить задачу в смешанных стратегиях означает найти такие оптимальные смешанные стратегии и , которые доставляют игроку A максимальный средний выигрыш, а игроку B – минимальный средний проигрыш.

Ценой игры  при решении в смешанных стратегиях называется величина среднего выигрыша игрока A (среднего проигрыша B), приходящегося на одну партию. Стратегии игроков, входящие в их оптимальные смешанные стратегии, называются активными.

Можно показать, что цена игры всегда удовлетворяет условию:

.

Следовательно, если каждый игрок придерживается своих смешанных стратегий при многократном повторении игры, то он получает более выгодный для себя результат, чем применяя “перестраховочные” стратегии, соответствующие  и . Каждый из игроков не заинтересован в отходе от своей оптимальной стратегии, так как ему это невыгодно.