2. Структурная и приведенная формы моделей
Различают расширенную, структурную и приведенную формы записи систем эконометрических уравнений.
Расширенная форма модели – это такая система уравнений, которая содержит балансовые уравнения. За счет балансовых уравнений некоторые из переменных могут быть исключены, что позволяет в конечном итоге рассматривать систему уравнений меньшей размерности.
Структурной формой модели называется система уравнений (3). Уравнения, входящие в структурную форму, называются структурными уравнениями. Коэффициенты уравнений структурной формы называются структурными коэффициентами.
В процессе оценивания параметров системы (3) следует различать два класса переменных: эндогенные и экзогенные. Эндогенными называются переменные, значения которых определяется внутри модели. В системе (3) эндогенными являются переменные y1, y2, …, yn. Их число совпадает с числом уравнений системы. Экзогенными называются те переменные, значения которых определяется вне модели. Это предопределенные переменные, которые влияют на эндогенные переменные, но не зависят от них. В динамических моделях в качестве экзогенных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предыдущие периоды времени – лаговые переменные.
Приведенной формой модели называется система уравнений, в каждом из которых эндогенные переменные выражены только через экзогенные переменные и случайные составляющие:
(4)
Коэффициенты приведенной формы (4) называются приведенными коэффициентами. Они оцениваются с помощью обычного МНК, так как экзогенные переменные не коррелированны со случайными составляющими.
3. Проблема идентифицируемости модели
При переходе от приведенной формы к структурной возникает проблема идентификации модели, то есть проблема возможности и единственности численной оценки структурных коэффициентов по оценкам приведенных коэффициентов.
Исходная система одновременных уравнений является идентифицируемой, если все ее структурные коэффициенты определяются однозначно по коэффициентам приведенной формы модели, то есть если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели.
Исходная система одновременных уравнений является неидентифицируемой, если число параметров структурной модели больше числа параметров приведенной формы модели. В таком случае структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.
Исходная система одновременных уравнений является сверхидентифицируемой, если число параметров структурной модели меньше числа параметров приведенной формы модели. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два и более значения одного структурного коэффициента. Сверхидентифицируемая модель в отличие от неидентифицируемой модели практически решаема, но требует для этого специальных методов оценки параметров.
Для определения типа модели необходимо рассматривать каждое уравнение. Если каждое уравнение системы идентифицируемо, то и модель считается идентифицируемой. Если хотя бы одно уравнение в системе не идентифицируемо, то вся модель считается неидентифицируемой. Модель считается сверхидентифицируемой, если хотя бы одно ее уравнение сверхидентифицируемо.
Для быстрого определения идентифицируемости структурной модели применяются следующие необходимые и достаточные условия.
Необходимое условие идентифицируемости. Если Н – число эндогенных переменных в уравнении, а D – число экзогенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе, то справедливо следующее правило:
1) D = H – 1 – уравнение идентифицируемо;
2) D > H – 1 – уравнение сверхидентифицируемо;
3) D < H – 1 – уравнение неидентифицируемо.
Предложенное правило, являясь необходимым, не достаточно для идентификации модели. Возможна ситуация, когда для каждого уравнения системы выполнено правило D = H – 1, но система уравнений не является идентифицируемой.
Достаточное условие идентификации. Уравнение системы идентифицируемо, если ранг матрицы, составленной из коэффициентов при переменных (эндогенных и экзогенных), отсутствующих в исследуемом уравнении, не меньше N – 1, где N – число эндогенных переменных системы.
Если система содержит балансовое уравнение, то само оно не требует проверки на идентификацию, так как коэффициенты при переменных определены однозначно. В то же время балансовые уравнения системы в проверке на идентифицикацию структурных уравнений системы участвуют.