4.3. Предпосылки мнк

Теорема Гаусса–Маркова, рассмотренная выше для парной регрессионной модели, оказывается верной и в общем случае для модели множественной линейной регрессии.

Теорема Гаусса–Маркова (для множественного регрессионного анализа). Пусть выполняются условия:

1) математическое ожидание случайного члена для всех наблюдений равно нулю;

2) дисперсия распределения случайного члена одинакова для всех наблюдений (постоянство дисперсии называется гомоскедастичностью, непостоянство – гетероскедастичностью);

3) случайные отклонения в любых двух наблюдениях являются независимыми, то есть их ковариация равна нулю (это условие называется условием отсутствия автокорреляции);

4) случайное отклонение независимо от объясняющих переменных;

5) случайные отклонения имеют нормальное распределение;

6) отсутствует мультиколлинеарность (нет зависимости между факторами). Тогда оценки параметров регрессии, полученные по МНК, являются несмещенными, состоятельными и эффективными.

Если предпосылки 2 и 3 нарушены, то оценки являются несмещенными и состоятельными, но неэффективными.

При построении классических линейных множественных регрессионных моделей должны выполняться и такие предположения, как:

– число наблюдений существенно больше числа объясняющих переменных;

– отсутствуют ошибки спецификации.

5. Прогнозирование на основе регрессионных моделей

Как и в случае парной модели, различают точечный и интервальный прогнозы. В первом случае прогнозируемая оценка – некоторое число, во втором – интервал, в котором находится истинное значение зависимой переменной с заданным уровнем значимости.

Точечный прогноз по уравнению регрессии осуществляется путем подстановки значений регрессоров в уравнение линии регрессии. Для классической линейной модели этот прогноз является несмещенным.

В дополнение к точечному прогнозу можно определить (по аналогии с парным случаем) границы возможного изменения прогнозируемого показателя, т.е. вычислить интервальный прогноз.

6. Фиктивные переменные

При постановке ряда регрессионных задач приходится рассматривать зависимость некоторого показателя не только от количественных переменных, принимающих значения из определенных числовых интервалов, но также зависимость от ряда факторов, имеющих два и более качественных уровня.

Качественные факторы, рассматриваемые как переменные регрессионной модели, называются в эконометрике фиктивными переменными. В противоположность значащим переменным, отражающим количественную сторону показателя, фиктивные переменные играют роль индикаторов, сигнализирующих об уровне рассмотрения задачи.

В качестве фиктивных переменных обычно используются так называемые дихотомические переменные, которые имеют только два уровня (например, «фактор действует» – «фактор не действует», «сезон летний» – «сезон зимний», «пол мужской» – «пол женский»).

7. Введение фиктивных переменных в модель

Для того, чтобы ввести фиктивную переменную в регрессионную модель, ей необходимо присвоить некоторые числовые значения, придав тем самым фиктивным переменным количественное содержание. В случае дихотомической переменной это делается следующим образом. Фиктивной переменной придается значение 1, если признак присутствует в наблюдении, и 0 – при его отсутствии. Таким образом, если z – дихотомическая переменная, то в описанной выше двоичном виде она формализуется равенством

Что касается фиктивной переменой, имеющей k уровней качества (k > 2), то при построении регрессионной модели она заменяется на k – 1 дихотомическую фиктивную переменную.

Например, при исследовании зависимости заработной платы от стажа работника и его образования модель может быть представлена в виде:

,

где – часть заработной платы, объясняемая стажем,

Третьей дихотомической переменной z₃ и не требуется, так как если работник имеет начальное образование, то это уже учтено при . Более того, с точки зрения требований к качеству модели ее вводить нельзя, так как тогда для любого работника

z₁ + z₂ + z₃= 1,

то есть переменные становятся линейно зависимыми, а это приводит к мультиколлинеарности. Такая ситуация совершенной мультиколлинеарности получила название «ловушка фиктивной переменной». Чтобы избежать ее, необходимо руководствоваться следующим простым правилом.

Если фиктивная переменная z имеет k качественных уровней, то при моделировании вместо нее используются k – 1 дихотомическая переменная z₁, z₂, …, z_k-1.