39. Аппроксимация функций в ms Excel.

В MS Excel аппроксимация экспериментальных данных осуществляется путем построения их графика (x – отвлеченные величины) или точечного графика (x – имеет конкретные значения) с последующим подбором подходящей аппроксимирующей функции (линии тренда).

Возможны следующие варианты функций:

Линейная – y=ax+b. Обычно применяется в простейших случаях, когда экспериментальные данные возрастают или убывают с постоянной скоростью.

Полиномиальная – y=a0+a1x+a2x2+…+anxn, где до шестого порядка включительно (n≤6), ai– константы. Используется для описания экспериментальных данных, попеременно возрастающих и убывающих. Степень полинома определяется количеством экстремумов (максимумов или минимумов) кривой. Полином второй степени можно описать только один максимум или минимум, полином третьей степени может иметь один или два экстремума, четвертой степени – не более трех экстремумов и т.д.

Логарифмическая – y=a·lnx+b, где a и b – константы, ln – функция натурального логарифма. Функция применяется для описания экспериментальных данных, которые вначале быстро растут или убывают, а затем постепенно стабилизируются.

Степенная – y=b·xa,

где a и b – константы. Аппроксимация степенной функцией используется для экспериментальных данных с постоянно увеличивающейся (или убывающей) скоростью роста. Данные не должны иметь нулевых или отрицательных значений.

Экспоненциальная – y=b·eax,

a и b – константы, e – основание натурального логарифма. Применяется для описания экспериментальных данных, которые быстро растут или убывают, а затем постепенно стабилизируются. Часто ее использование вытекает из теоретических соображений.

Степень близости аппроксимации экспериментальных данных выбранной функцией оценивается коэффициентом детерминации (R2)

Таким образом, если есть несколько подходящих вариантов типов аппроксимирующих функций, можно выбрать функцию с большим коэффициентом детерминации (стремящимся к 1).

Для осуществления аппроксимации на диаграмме экспериментальных данных необходимо щелчком правой кнопки мыши вызвать выплывающее контекстное меню и выбрать пункт Добавить линию тренда. В появившемся диалоговом окне Линия тренда на вкладке Тип выбирается вид аппроксимирующей функции, а на вкладке Параметры задаются дополнительные параметры, влияющие на отображение аппроксимирующей кривой.

Несколько независимых переменных

В тех случаях, когда аппроксимируемая переменная y зависит от нескольких независимых переменных x1, x2, … , xn, y=f(x1, x2, … , xn), подход с построением линии тренда не дает решения. Здесь могут быть использованы следующие специальные функции MS Excel:

ЛИНЕЙН и ТЕНДЕНЦИЯ для аппроксимации линейных функций вида:

y=a0+a1x1+a2x2+…+anxn, (3)

ЛГРФПРИБЛ и РОСТ для аппроксимации показательных функций вида:

y=a0a1x1a2x2 … anxn. (4)

Функции ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ служат для вычисления неизвестных коэффициентов a0, a1, … , an, в выражениях (3) и (4) соответственно, а также коэффициентов детерминации (R2), значений Фишера, стандартных ошибок коэффициентов ai и ряда других показателей.

Функции ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ позволяют находить точки, лежащие на аппроксимирующих кривых (3) и (4), соответственно, для значений коэффициентов a1, … , an, найденных функциями ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ.

Обе функции имеют

одинаковые параметры

ЛИНЕЙН(известные_значения_y;известные

_значения_x;конст;статистика)

Здесь:

• известные_значения_y – множество наблюдаемых значений y из выражений (3), (4);

• известные_значения_x - множество наблюдаемых значений x1, x2, … , xn. Причем, если массив известные_значения_y имеет один столбец, то каждый столбец массива известные_значения_x интерпретируется как отдельная переменная, а если массив известные_значения_y имеет одну строку, то тогда каждая строка массива известные_значения_x интерпретируется как отдельная переменная;

• конст - логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы константа a0 была равна 0 (для функции ЛИНЕЙН) или 1 (для функции ЛГРФПРИБЛ). При этом, если конст имеет значение ИСТИНА или опущено, то a0 вычисляется обычным образом, а если конст имеет значение ЛОЖЬ, то a0 полагается равным 0 или 1;

• статистика – логическое значение, которое указывает, требуется ли вычислять дополнительную статистику по регрессии, если введено значение ИСТИНА, то дополнительные параметры вычисляются, если ЛОЖЬ, то нет.

• ЛГРФПРИБЛ(известные_значения_y;известные_ значения_x; новые_значения_x;конст;)

• известные_значения_y – множество значений y;

• известные_значения_x - множество значений x;

• новые_значения_x – те значения x, для которых необходимо определить соответствующие аппроксимирующие или предсказанные значения y. Новые_значения_x должны содержать столбец (или строку) для каждой независимой переменной, как и известные_значения_x. Если аргумент новые_значения_x опущен, то предполагается, что он совпадает с аргументом известные_значения_x;

• конст - логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы константа a0 была равна 0 (для функции ТЕНДЕНЦИЯ) или 1 (для функции РОСТ). При этом, если конст имеет значение ИСТИНА или опущено, то a0 вычисляется обычным образом, а если конст имеет значение ЛОЖЬ, то a0 полагается равным 0 или 1.

40. Интерполирование функций в MS Excel.

41. Численное дифференцирование в MS Excel.

Численное дифференцирование в Excel

mxadmin, 30.08.2013 | Комментариев нет

Для решения многих инженерных задач часто требуется вычисление производных. Когда есть формула, описывающая процесс, сложностей никаких нет: берем формулу и вычисляем производную, как учили еще в школе, находим значения производной в разных точках, и всё. Сложность, наверное, только в этом и состоит, чтобы вспомнить, как вычислять производные. А как быть, если у нас есть только несколько сотен или тысяч строк с данными, а никакой формулы нет? Чаще всего именно так на практике и бывает. Предлагаю два способа.

Первый заключается в том, что мы наш набор точек аппроксимируем стандартной функцией Excel, то есть подбираем функцию, которая лучше всего ложится на наши точки (в Excel это линейная функция, логарифмическая, экспоненциальная, полиномиальная и степенная). Второй способ – численное дифференцирование, для которого нам нужно будет только умение вводить формулы.

Вспомним, что такое производная вообще:

Производной функции f (x) в точке x называется предел отношения приращения Δf функции в точке x к приращению Δx аргумента, когда последнее стремится к нулю:

Вот и воспользуемся этим знанием: будем просто брать для расчета производной очень маленькие значения приращения аргумента, т.е. Δx.

Для того, чтобы найти приближённое значение производной в нужных нам точках (а у нас точки – это различные значения степени деформации ε) можно поступить вот как. Посмотрим еще раз на определение производной и видим, что при использовании малых значений приращения аргумента Δε (то есть малых приращений степени деформации, которые регистрируются при испытаниях) можно заменить значение реальной производной в точке x0 (f’(x0)=dy/dx (x0)) на отношение Δy/Δx=(f (x0+ Δx) – f (x0))/Δx.

То есть вот что получается:

f’(x0) ≈(f (x0+ Δx) – f (x0))/Δx (1)

Для вычисления этой производной в каждой точке мы производим вычисления с использованием двух соседних точек: первая с координатой ε0 по горизонтальной оси, а вторая с координатой x0 + Δx, т.е. одна – производную в которой вычисляем и та, что поправее. Вычисленная таким образом производная называется разностной производной вправо (вперед) с шагом Δx.

Можем поступить наоборот, взяв уже другие две соседние точки: x0 — Δx и x0, т.е интересующую нас и ту, что левее. Получаем формулу для вычисления разностной производной влево (назад) с шагом — Δx.

f’(x0) ≈(f (x0) – f (x0— Δx))/Δx (2)

Предыдущие формулы были «левые» и «правые», а есть еще одна формула, которая позволяет вычислять центральную разностною производную с шагом 2 Δx, и которая чаще других используется для численного дифференцирования:

f’(x0) ≈(f (x0+ Δx) – f (x0— Δx))/2Δx (3)

Для проверки формулы рассмотрим простой пример с известной функцией y=x3. Построим таблицу в Excel с двумя с столбцами: x и y, а затем построим график по имеющимся точкам.

Производная функции y=x3 это y=3x2, график которой, т.е. параболу, мы и должны получить с использованием наших формул.

Попробуем вычислить значения центральной разностной производной в точках х. Для этого. В ячейке второй строки нашей таблицы забиваем нашу формулу (3), т.е. следующую формулу в Excel:

Далее, воспользовавшись автозаполнением, копируем эту формулу во все нижние ячейки (тянем за нижнюю правую часть прямоугольника, который указывает на текущую ячейку):

Теперь строим график с использованием уже имеющихся значений х и полученных значений центральной разностной производной:

А вот и наша красненькая парабола! Значит, формула работает!

Ну а теперь можем перейти к конкретной инженерной задаче, про которую говорили в начале статьи – к нахождению изменения dσ/dε с увеличением деформации. Первая производная кривой «напряжение-деформация» σ=f (ε) в зарубежной литературе называется «скорость упрочнения» (strain hardening rate),а в нашей – «коэффициент упрочнения». Итак, в результате испытаний мы имеем массив данных, которой состоит из двух столбцов: один — со значениями деформаций ε и другой – со значениями напряжений σ в МПа. Возьмем холодную деформацию стали 1035 или наша 40Г (см. таблицу аналогов сталей) при 20°С.

C Mn P S Si N

0.36 0.69 0.025 0.032 0.27 0.004

Вот наша кривая в координатах «истинное напряжение — истинная деформация» σ-ε:

Действуем так же, как и в предыдущем примере и получаем вот такую кривую:

42. Численное интегрирование в MS Excel. Метод трапеций.

Численное интегрирование

Для численного интегрирования функции одной переменной применяют методы: прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Метод прямоугольников

Метод трапеций

Метод Симпсона

Все эти методы заключаются в:

Разбиении интервала (отрезка) интегрирования на n равных более мелких отрезков

Замене на каждом таком мелком отрезке исходной функции (её графика) соответственно:

- горизонтальной прямой

- наклонной прямой

- параболой

Вычислении площади полученной фигуры, которая приблизительно равна площади под графиком функции, т е искомому интегралу.

Лист MS Excel с решением задачи

(Точное значение вычисляемого интеграла равно 30)

42