Интегральная теорема Муавра-Лапласа и условия ее применимости. Функция Лапласа ф(х) и ее свойства. Пример.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от а до b (включительно), при достаточно большом числе n приближенно равна
,
Где
- функция (или интеграл вероятностей)
Лапласа;
,
.
Формула называется интегральной формулой МуавраЛапласа. Чем больше n, тем точнее эта формула. При выполнении условия npq ≥ 20 интегральная формула , так же как и локальная, дает, как правило, удовлетворительную для практики погрешность вычисления вероятностей.
Функция Ф(х) табулирована (см. табл.). Для применения этой таблицы нужно знать свойства функции:
Функция Ф(х) нечетная, Т.е. Ф(-х) = -Ф(х).
Функция Ф(х) монотонно возрастающая, причем при х → +∞ Ф(х) → 1 (практически можно считать, что уже при х > 4 Ф(х) ≈ 1).
Пример. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Вычислить вероятность того, что от 300 до 360 (включительно) семей из 400 имеют холодильники.
Решение. Применяем интегральную теорему МуавраЛапласа (npq = 64 ≥ 20). Вначале определим:
,
.
Теперь по формуле , учитывая свойства Ф(х), получим
.
(по табл. Ф(2,50) = 0,9876, Ф(5,0) ≈ 1)
Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа (с выводом). Примеры.
Рассмотрим следствие интегральной теоремы МуавраЛапласа.
Следствие. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того, что:
а) число m
наступлений события А отличается от
произведения nр
не более, чем на величину ε > 0 (по
абсолютной величине), т.е.
;
б) частость
события
А заключена в пределах от α до β
(включительно), т.е.
,
Где
,
.
в) частость
события А отличается от его вероятности
р не более, чем на величину Δ > 0 (по
абсолютной величине), т.е.
.
□ 1) Неравенство
равносильно двойному неравенству пр
- Е ~ т ~ пр + Е. Поэтому по интегральной
формуле
:
.
2) Неравенство
равносильно
неравенству a
≤ m
≤ b
при a
= nα
и b
= nβ.
Заменяя в формулах
и
,
величины а и b
полученными выражениями, получим
доказываемые формулы
и
,
.
3) Неравенство
равносильно
неравенству
.
Заменяя в формуле
,
получим доказываемую формулу
.
Пример. По статистическим данным в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет. Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных доля (частость) доживших до 50 лет будет: а) заключена в пределах от 0,9 до 0,95; б) будет отличаться от вероятности этого события не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине)?
Решение. а) Вероятность р того, что новорожденный доживет до 50 лет, равна 0,87. Т.к. n = 1000 велико (условие npq = 1000·0,87·0,13 = 113,1 ≥ 20 выполнено), то используем следствие интегральной теоремы Муавра-Лапласа. Вначале определим:
,
.
Теперь по формуле
:
.
Б) По формуле
:
.
Так как неравенство
равносильно неравенству
,
полученный результат означает, что
практически достоверно, что от 0,83 до
0,91 числа новорожденных из 1000 доживут
до 50 лет.