39. Построение теоретического закона распределения по опыт­ным данным. Понятие о критериях согласия.

Одной из важнейших задач матем-кой статистики является установление теоретического закона распределения случайной величины, характеризующей изучаемый признак по опытному (эмпирическому) распределению, представляющему вариационный ряд.

Для решения этой задачи необходимо определить вид и параметры закона распределения.

1. Предположение о виде закона распределения м.б. выдвинуто исходя из теоретических предпосылок, опыта аналогичных предшествующих исследований и, наконец, на основании графического изображения эмпирического распределения.

2. Параметры распределения, как правило, неизвестны, поэтому их заменяют наилучшими оценками по выборке.

Критерии согласия отвечают на вопрос: объясняются ли расхождения между эмпирическим и теоретическим распределениями только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что теоретический закон распределения подобран неудачно.

Пусть необходимо проверить нулевую гипотезу Н₀ о том, что исследуемая СВ Х подчиняется определенному закону распределения. Для проверки гипотезы Н₀ выбирают некоторую СВ U, характеризующую степень расхождения теоретического и эмпирического распределений, закон распределения которой при достаточно больших n известен и практически не зависит от закона распределения СВ Х.

Зная закон распределения U, можно найти вероятность того, что U приняла значение не меньше, чем фактически наблюдаемое в опыте u, т.е. U ≥ u.

Если Р(U ≥ u) = α мала, то это означает в соответствии с принципом практической уверенности, что такие, как в опыте, и большие отклонения практически невозможны. В этом случае гипотезу Н₀ отвергают.

Если же вероятность Р(U ≥ u) = α не мала, расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями несущественно и гипотезу Н₀ можно считать правдоподобной или по крайней мере не противоречащей опытным данным.

39. Критерий согласия х2-Пирсона и схема его применения.

Критерии - Пирсона в качестве меры расхождения U берется величина , равная сумме квадратов отклонений частостей (статистических вер-тей) от гипотетических , рассчитанных по предполагаемому распределению, взятых с некоторыми весами :

.

Веса вводятся т.о., чтобы при одних и тех же отклонениях больший вес имели отклонения, при которых мала, и меньший вес - при которых велика. Очевидно, этого удается достичь, если взять обратно пропорциональными вер-тям . Взяв в качестве весов , можно доказать, что при n → ∞ статистика.

, или .

имеет -распределение с k = m - r - 1 степенями свободы, где m - число интервалов эмпирического распределения (вариационного ряда); r - число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным.

Числа и называются соответственно эмпирическими и теоретическими частотами.

Схема применения критерия для проверки гипотезы Н₀ сводится к следующему:

1. Определяется мера расхождения эмпирических и теоретических частот по

2. Для выбранного уровня значимости α по таблице -распределения находят критическое значение при числе степеней свободы k = m - r - 1.

3. Если фактически наблюдаемое значение больше критического, т.е. то гипотеза Н₀ отвергается, если гипотеза Н₀ не противоречит опытным данным.

3амечание. Статистика имеет -распределение лишь при n → ∞, поэтому необходимо, чтобы в каждом интервале было достаточное количество наблюдений, по крайней мере 5 наблюдений. Если в каком-нибудь интервале число наблюдений n_i< 5, имеет смысл объединить соседние интервалы, чтобы в объединенных интервалах было не меньше 5.