30. Понятие об оценке параметров генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность.

Сформулируем задачу оценки параметров в общем виде. Пусть распределение признака Х - генеральной совокупности - задается функцией вер-тей (для дискретной СВ Х) или плотностью вер-ти (для непрерывной СВ Х), к-ая содержит неизвестный параметр . Напр, это параметр λ в распределении Пуассона или параметры а и для нормального закона распределения и т.д.

Для вычисления параметра исследовать все элементы генеральной совокупности не представляется возможным. Поэтому о параметре пытаются судить по выборке, состоящей из значений (вариантов) . Эти значения можно рассматривать как частные значения (реализации) n независимых случайных величин каждая из к-ых имеет тот же закон распределения, что и сама СВ Х.

Определение. Оценкой параметра называют всякую функцию результатов наблюдений над СВ Х (иначе - статистику), с помощью к-ой судят о значении параметра :

.

Поскольку - случайные величины, то и оценка (в отличие от оцениваемого параметра - величины неслучайной, детерминированной) является случайной величиной, зависящей от закона распределения СВ Х и числа n.

О качестве оценки следует судить не по индивидуальным ее значениям, а лишь по распределению ее значений в большой сети испытаний, т.е. по выборочному распределению оценки.

Если значения оценки концентрируются около истинного значения параметра , т.е. основная часть массы выборочного распределения оценки сосредоточена в малой окрестности оцениваемого параметра , то с большой вер-тью можно считать, что оценка отличается от параметра лишь на малую величину. Поэтому, чтобы значение было близко к , надо, очевидно, потребовать, чтобы рассеяние случайной величины относительно , выражаемое, например, матем-ким ожиданием квадрата отклонения оценки от оцениваемого параметра , было по возможности меньшим. Таково основное условие, к-му должна удовлетворять «наилучшая» оценка.

Свойства оценок.

Определение. Оценка параметра называется несмещенной, если ее мат-кое ожидание равно оцениваемому параметру, т.е. .

в противном случае оценка называется смещенной.

Если это равенство не выполняется, то оценка , полученная по разным выборкам, будет в среднем либо завышать значение (если , либо занижать его (если ). Требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.

Если при конечном объеме выборки n , т.е. смещение оценки , но , то такая оценка называется асимптотически несмещенной.

Определение. Оценка параметра называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. сходится по вер-ти к оцениваемому параметру:

, или .

В случае использования состоятельных оценок оправдывается увеличение объема выборки, т.к. при этом становятся маловероятными значительные ошибки при оценивании. Поэтому практический смысл имеют только состоятельные оценки. Если оценка состоятельна, то практически достоверно, что при достаточно большом n .

Если оценка параметра является несмещенной, а ее дисперсия при n → ∞, то оценка является и состоятельной. Это непосредственно вытекает из неравенства Чебышева:

.

Определение. Несмещенная оценка параметра сназывается эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра , вычисленных по выборкам одного и того же объема n.

Т.к. для не смещенной оценки есть ее дисперсия , то эф-ть является решающим свойством, определяющим качество оценки.

Эффективность оценки определяют отношением: .

где и - соот-но дисперсии эффективной и данной оценок. Чем ближе е к 1, тем эффективнее оценка. Если е → 1 при n → ∞, то такая оценка называется асuмптотически эффективной.