10. Неравенство Маркова (лемма Чебышева) (с выводом). При­мер.

Теорема. Если СВ Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа А верно неравенство:

☺ Доказательство проведем для дискретной СВ Х. Расположим ее значения в порядке возрастания, из которых часть значений будут не более числа А, а другая часть - будут больше А, т.е.

(рис. 6.1) .

Запишем выражение для математического ожидания М(Х): ,

где - вероятности того, что СВ Х примет значения соответственно .

Отбрасывая первые k неотрицательных слагаемых (напомним, что все ), получим: .

Заменяя в неравенстве значения меньшим числом А, получим более сильное неравенство: или .

Cумма вероятностей в левой части полученного неравенства представляет собой сумму вероятностей событий , т.е. вероятность события Х>А. Поэтому .☻

Т.к. события Х > А и Х ≤ А противоположные, то заменяя Р(Х > А) выражением 1 - Р(Х ≤ А), придем к другой форме неравенства Маркова:

.

Неравенство Маркова применимо к любым неотрицательным случайным величинам.

Пример. Среднее количество вызовов, поступающих на коммутатор завода в течение часа, равно 300. Оценить вероятность того, что в течение следующего часа число вызовов на коммутатор: а) превысит 400; б) будет не более 500.

Решение. а) По условию М(Х) = 300. По формуле : т.е. вероятность того, что число вызовов превысит 400, будет не более 0,75.

б) По формуле : т.е. вероятность того, что число вызовов не более 500, будет не менее 0,4.

10. Неравенство Чебышева (с выводом) и его частные случаидля случайной величины, распределенной по биномиальному за­кону, и для частости события.

Теорема. Для любой случайной величины, имеющей математическое ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева: ,

где а = М(Х), е > 0.

☺ Применим неравенство Маркова в форме к случайной величине , взяв в качестве положительного числа . Получим: .

Т.к. неравенство равносильно неравенству , а есть дисперсия случайной величины Х, то из неравенства получаем доказываемое неравенство. ☻

Учитывая, что события и противоположны, неравенство Чебышева можно записать и в другой форме: .

Неравенство Чебышева применимо для любых случайных величин. В форме оно устанавливает верхнюю границу, а в форме - нижнюю границу вероятности рассматриваемого события.

Запишем неравенство Чебышева в форме для некоторых случайных величин:

а) для СВ Х = m, имеющей биноминальный закон распределения с математическим ожиданием а = М(Х) = nр и дисперсией D(X) = npq: .

б) для частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью и имеющей дисперсию : .

3амечание. Если М(Х) > А или , то правые части неравенств Маркова и Чебышева в форме соответственно и будут отрицательными а в форме и будут больше 1.

Это означает, что применение указанных неравенств в этих случаях приведет к тривиальному результату: вероятность события больше отрицательного числа либо меньше числа, превосходящего 1.